Rasional üstlü qüvvət

• 4.9
• 9-cu sinif
• Kök və qüvvət

Rasional üstlü qüvvət

Bakteriya koloniyası hər saat 2 dəfə artır: saat 9:00-da 1000, 10:00-da 2000 bakteriya var. Bəs 9:30-da? Yarı yol — 1500 deyil! Hər yarım saatda koloniya eyni sayda dəfə artır və iki belə artım 2 dəfə edir. Bu ədəd 2 üstü 1 / 2 = √(2) ≈ 1,41-dir, yəni 9:30-da təqribən 1414 bakteriya var.

Bu dərsdə

• kəsr üstlü qüvvətin niyə kök vasitəsilə təyin olunduğunu izah edəcək, onu kök şəklində, kökü isə qüvvət şəklində yazacaqsan;
• müsbət, mənfi, onluq və qarışıq kəsr üstlü qüvvətlərin qiymətini hesablayacaqsan;
• ifadənin mənası olan qiymətlərini tapacaq və rasional üstlü qüvvətləri müqayisə edəcəksən.

Koloniya hər saat 2 dəfə artır: 9:30-da 1500 yox, təqribən 1414 bakteriya

Başla Yenidən Yenidən

1. Kəşf et
2. Tərif
3. Çevir
4. Hesabla
5. Laboratoriya
6. Mənası
7. Müqayisə
8. Diqqət
9. Həyatda
10. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Yarım saatda neçə dəfə?

8-ci sinifdə tam üstlü qüvvəti öyrəndin: 23 = 8, 20 = 1, 2−2 = 14 / . Koloniya t saatda 2t dəfə artır: 1 saatda 21, 2 saatda 22 dəfə, 1 saat əvvəl isə indikinin 2−1 = 12 / hissəsi qədər idi. Bəs t = 12 / olanda?

Tutaq ki, yarım saatda koloniya q dəfə artır. İkinci yarım saatda da artım eynidir — yenə q dəfə. Bir saatda isə 2 dəfə artmalıdır:

q · q = 2 ⇒ q = √(2) ≈ 1,414

Ona görə 2 üstü 1 / 2 ədədi √(2) olmalıdır: 9:30-da 1000 · √(2) ≈ 1414 bakteriya. 1500 niyə alınmır? 1000-dən 1500-ə artım × 1,5 deməkdir. İkinci yarım saatda da × 1,5 olsaydı, 10:00-da 1500 · 1,5 = 2250 bakteriya olardı, 2000 yox.

Üst tam bölünəndə

⁴√(38) = ⁴√((32)4) = 9

Həm də 3 üstü 8 / 4 = 32 = 9. Eynilə ³√(56) = 25 = 5 üstü 6 / 3.

Bölünməyəndə

2 üstü 1 / 2 = ?

1 ədədi 2-yə bölünmür. Cavabı «yarım saat» verdi: √(2).

İndi bir saatı üç bərabər 20 dəqiqəlik addıma bölək. Hər addımda koloniya q dəfə artırsa, üç addımda q3 = 2, yəni q = ³√(2) = 2 üstü 1 / 3. 9:40-a qədər iki addım keçir — bu, saatın 23 / hissəsidir:

Bir saat üç bərabər 20 dəqiqəlik addıma bölünür

Başla Yenidən Yenidən

Hər narıncı qövs eyni q dəfə artımdır. Üç qövs bir saat — × 2; iki qövs 40 dəqiqə — × q2.

2 üstü 2 / 3 = q2 = (³√(2))2 = ³√(22) = ³√(4) ≈ 1,587

Son addımda 4.6-dakı (n√(a))m = n√(am) xassəsini işlətdik. Ümumi fikir eynidir: köhnə qüvvət qaydaları pozulmasın deyə

1. a üstü 1 / n-i n dəfə vursaq, a alınmalıdır: (a üstü 1 / n)n = a. Belə müsbət ədəd n√(a)-dır: a üstü 1 / n = n√(a).
2. a üstü m / n — 1n / -lik m addımdır: a üstü m / n = (n√(a))m.
3. (n√(a))m = n√(am) (4.6). Deməli, a üstü m / n = n√(am).

2 · Tərif

Rasional üstlü qüvvət nədir?

Yadda saxla

«Müsbət a ədədinin mn / rasional üstlü (burada m — tam, n — natural ədəddir, n ≥ 2) qüvvəti

a üstü m / n = n√(am)

kimi təyin olunur.» Kəsrin məxrəci kökün üstü olur, surəti isə kökaltı ifadənin qüvvət üstü.

Rasional üstlü qüvvət kök şəklində

Məsələn, 10 üstü 3 / 4 = ⁴√(103) = ⁴√(1000).

Onluq və qarışıq kəsr üstlərini əvvəlcə adi kəsr şəklində yaz: 0,4 = 25 / , 1,5 = 32 / , 112 / = 32 / . Eyni kəsrin müxtəlif yazılışları eyni qiyməti verir: 2 üstü 2 / 4 = ⁴√(22) = ⁴√(4) = √(2) = 2 üstü 1 / 2 — 4.6-da kökün üstünü dəyişmək belə idi.

Sıfır əsas

0 üstü m / n = 0

Dərslikdə: m > 0 olduqda n√(0m) = 0 olduğundan, 0 üstü m / n = 0 olur. Mənfi üstdə isə mənası yoxdur: 0 üstü mənfi −3 / 4 = ⁴√(0−3), 0−3 = 103 / isə yoxdur.

Mənfi əsas

(−32) üstü 1 / 5 — mənası yoxdur

Dərslikdə: «Mənfi ədədlər üçün kəsr üstlü qüvvətə baxılmır.» Səbəb: 15 / = 210 / . Kök kimi hesablasaq, ⁵√(−32) = −2 alınır, amma (−32) üstü 2 / 10 = ¹⁰√((−32)2) = ¹⁰√(1024) = 2 — eyni ədədə iki cavab. Kök özü qalır: ⁵√(−32) = −2 doğrudur, sadəcə onu qüvvət şəklində yazmırıq.

3 · Çevir

Qüvvətdən kökə və kökdən qüvvətə

Tərifi iki istiqamətdə oxuyuruq. Soldan sağa: məxrəc kökün üstünə, surət kökaltının üstünə keçir. Sağdan sola: kökün üstü məxrəcə, kökaltının üstü surətə qayıdır.

Nümunə 1Kök şəklində yaz

Qüvvətləri kök şəklində yazın.

1. 11 üstü 2 / 3 = ³√(112) = ³√(121)
2. 6 üstü mənfi −3 / 4 = ⁴√(6−3) = ⁴√(1216 / ) (6−3 = 163 / )
3. 13 üstü 0,25 = 13 üstü 1 / 4 = ⁴√(13)
4. c > 0: c üstü 1,4 = c üstü 7 / 5 = ⁵√(c7) Məxrəc → kökün üstü, surət → kökaltının üstü

Nümunə 2Qüvvət şəklində yaz

Kökləri rasional üstlü qüvvət şəklində yazın (dəyişənlərin qiymətləri müsbətdir).

1. ⁶√(x5) = x üstü 5 / 6
2. √(7y) = (7y) üstü 1 / 2 — bütün hasil əsasdır; 7y üstü 1 / 2 = 7√(y) başqa ifadədir.
3. (³√(5))2 = ³√(52) = 5 üstü 2 / 3
4. ³√(1a4 / ) = ³√(a−4) = a üstü mənfi −4 / 3 Kökün üstü → məxrəc, kökaltının üstü → surət

4 · Hesabla

Qiyməti necə tapırıq?

Ən rahat yol: əvvəlcə kökü al, sonra qüvvətə yüksəlt — ədədlər kiçik qalır. Bu, n√(am) = (n√(a))m bərabərliyidir (4.6). Mənfi üst tərs ədəd verir, onluq və qarışıq üst əvvəl adi kəsrə çevrilir.

N1Müsbət kəsr üst

243 üstü 2 / 5-i hesablayın.

1. 243 = 35, ona görə ⁵√(243) = 3.
2. 243 üstü 2 / 5 = (⁵√(243))2 = 32 = 9 243 üstü 2 / 5 = 9

N2Mənfi kəsr üst

64 üstü mənfi −5 / 6-i hesablayın.

1. 64 üstü mənfi −5 / 6 = ⁶√(64−5) = ⁶√(1645 / ) = 1(⁶√(64))5 /
2. ⁶√(64) = 2: 125 / = 132 / 64 üstü mənfi −5 / 6 = 132 /

N3Onluq kəsr əsas

0,027 üstü 2 / 3-i hesablayın.

1. 0,33 = 0,027, ona görə ³√(0,027) = 0,3.
2. 0,027 üstü 2 / 3 = 0,32 = 0,09 0,027 üstü 2 / 3 = 0,09

N4Onluq kəsr üst

10 000 üstü 0,75-i hesablayın.

1. 0,75 = 34 / ; ⁴√(10 000) = 10.
2. 10 000 üstü 0,75 = (⁴√(10 000))3 = 103 = 1000 10 000 üstü 0,75 = 1000

N5Kəsr əsas, mənfi üst

(32243 / ) üstü −0,4-i hesablayın.

1. −0,4 = −25 / . Mənfi üst kəsri çevirir: (32243 / )−2 = (24332 / )2.
2. (32 / )5 = 24332 / , ona görə ⁵√(24332 / ) = 32 / .
3. (32243 / ) üstü mənfi −2 / 5 = (32 / )2 = 94 / = 2,25 (32243 / ) üstü −0,4 = 2,25

N6Qarışıq kəsr üst

121 üstü 112 / -i hesablayın.

1. 112 / = 32 / ; √(121) = 11.
2. 121 üstü 3 / 2 = 113 = 1331 121 üstü 112 / = 1331

N7Bir ifadədə üç qüvvət

216 üstü 2 / 3 − 0,25 üstü mənfi −1 / 2 + 0 üstü 3 / 4 ifadəsinin qiymətini tapın.

1. 216 üstü 2 / 3 = (³√(216))2 = 62 = 36
2. 0,25 üstü mənfi −1 / 2 = √(0,25−1) = √(4) = 2
3. 0 üstü 3 / 4 = 0 (üst müsbətdir). Cəm: 36 − 2 + 0 = 34. 34

5 · Laboratoriya

Boşluqları doldur

Qrafikdəki qara nöqtələri 8-ci sinifdən tanıyırsan: 2−1, 20, 21, 22. Tərif onların arasındakı boşluqları doldurur. Üstü seç: qrafikdə nöqtə, aşağıda kök şəkli, qiymət və koloniyanın vaxtı görünür.

Üstü seç

12 / 23 / 34 / 32 / −12 /

y = 2 üstü x qrafiki: kəsr üstlü qüvvətlər tam üstlərin arasını doldurur

Üst 12 / : 2 üstü 1 / 2 = √(2) ≈ 1,414. Koloniya: saat 9:30-da təqribən 1414 bakteriya.

Üst 23 / : 2 üstü 2 / 3 = ³√(22) = ³√(4) ≈ 1,587. Koloniya: saat 9:40-da təqribən 1587 bakteriya.

Üst 34 / : 2 üstü 3 / 4 = ⁴√(23) = ⁴√(8) ≈ 1,682. Koloniya: saat 9:45-da təqribən 1682 bakteriya.

Üst 32 / : 2 üstü 3 / 2 = √(23) = √(8) ≈ 2,828. Koloniya: saat 10:30-da təqribən 2828 bakteriya.

Üst −12 / : 2 üstü mənfi −1 / 2 = √(2−1) = √(12 / ) ≈ 0,707. Koloniya: saat 8:30-da təqribən 707 bakteriya.

Əyri y = 2x-dir; koordinatları generator hesablayıb. Kəsr üstlü bütün nöqtələr tam üstlü nöqtələrin arasına, eyni əyrinin üzərinə düşür.

Nə görürsən: əsas 2 olanda üst böyüdükcə qiymət də böyüyür — 2 üstü 1 / 2 < 2 üstü 2 / 3 < 2 üstü 3 / 4, hamısı 1 ilə 2 arasında. Mənfi üst 1-dən kiçik qiymət verir: 2 üstü mənfi −1 / 2 ≈ 0,707 — saat 8:30-da koloniyada təqribən 707 bakteriya var idi.

6 · Mənası

İfadənin mənası nə vaxt var?

Yadda saxla

Kəsr üstlü qüvvətin əsası mənfi ola bilməz, sıfır isə yalnız müsbət üstdə qəbul olunur:

• üst müsbətdirsə — əsas ≥ 0;
• üst mənfidirsə — əsas > 0.

D1Müsbət üst

x-in hansı qiymətlərində (5 − x) üstü 2 / 7 ifadəsinin mənası var?

1. Üst 27 / > 0, ona görə əsas mənfi olmamalıdır: 5 − x ≥ 0.
2. 5 ≥ x, yəni x ≤ 5. x ≤ 5

D2Mənfi üst

x-in hansı qiymətlərində (2x − 1) üstü −0,5 ifadəsinin mənası var?

1. Üst −0,5 < 0: əsas sıfır da ola bilməz, 2x − 1 > 0.
2. 2x > 1, yəni x > 0,5. x > 0,5

Qüvvət

x üstü 1 / 5

Yalnız x ≥ 0 olduqda mənası var.

Kök

⁵√(x)

İstənilən x üçün mənası var: tək üstlü kök mənfi ədəddən də alınır, ⁵√(−32) = −2.

Deməli, x üstü 1 / 5 = ⁵√(x) bərabərliyi yalnız x ≥ 0 olduqda doğrudur.

7 · Müqayisə

Hansı böyükdür?

Rasional üstlü qüvvətləri kök şəklinə çevirib 4.5–4.6-dakı kimi müqayisə edirik.

M1Üstlər eynidir

1,2 üstü 2 / 3 ilə 0,8 üstü 2 / 3-ü müqayisə edin.

1. 1,2 üstü 2 / 3 = ³√(1,44), 0,8 üstü 2 / 3 = ³√(0,64).
2. 1,44 > 0,64 ⇒ ³√(1,44) > ³√(0,64). 1,2 üstü 2 / 3 > 0,8 üstü 2 / 3

Üstlər eyni və müsbətdirsə, əsası böyük olan qüvvət böyükdür.

M2Əsaslar eynidir, əsas 1-dən böyükdür

5 üstü 2 / 3 ilə 5 üstü 3 / 4-ü müqayisə edin.

1. Üstləri ortaq məxrəcə gətiririk: 23 / = 812 / , 34 / = 912 / .
2. 5 üstü 2 / 3 = ¹²√(58), 5 üstü 3 / 4 = ¹²√(59); 58 < 59. 5 üstü 2 / 3 < 5 üstü 3 / 4

M3Əsaslar eynidir, əsas 1-dən kiçikdir

0,8 üstü 1 / 4 ilə 0,8 üstü 1 / 5-i müqayisə edin.

1. 14 / = 520 / , 15 / = 420 / : 0,8 üstü 1 / 4 = ²⁰√(0,85), 0,8 üstü 1 / 5 = ²⁰√(0,84).
2. 0,85 = 0,84 · 0,8 və 0,8 < 1, ona görə 0,85 < 0,84. 0,8 üstü 1 / 4 < 0,8 üstü 1 / 5

Əsas 1-dən kiçik olanda böyük üst kiçik qiymət verir.

Eyni əsasda: a > 1 olduqda üstü böyük olan qüvvət böyükdür (laboratoriyadakı əyri yuxarı qalxır); 0 < a < 1 olduqda isə tərsinə — üstü böyük olan kiçikdir.

M4Əsaslar da, üstlər də fərqlidir

5 üstü 1 / 4 ilə 11 üstü 1 / 6-nı müqayisə edin.

1. Üstləri ortaq məxrəcə gətiririk: 14 / = 312 / , 16 / = 212 / .
2. 5 üstü 1 / 4 = ¹²√(53) = ¹²√(125), 11 üstü 1 / 6 = ¹²√(112) = ¹²√(121).
3. 125 > 121 ⇒ ¹²√(125) > ¹²√(121). 5 üstü 1 / 4 > 11 üstü 1 / 6

Əsası kiçik olsa da, böyük çıxdı: yalnız əsaslara və ya yalnız üstlərə baxmaq olmaz.

8 · Diqqət

Tez-tez buraxılan səhvlər

Səhv

10 üstü 2 / 5 = √(105)

Surət ilə məxrəc yerini dəyişib.

Düz

10 üstü 2 / 5 = ⁵√(102) = ⁵√(100)

Məxrəc — kökün üstü, surət — qüvvət üstü.

Səhv

0,001 üstü 2 / 3 = 0,1

Kök alınıb, qüvvət unudulub.

Düz

0,001 üstü 2 / 3 = 0,12 = 0,01

³√(0,001) = 0,1, sonra kvadrat.

Səhv

256 üstü 1 / 4 = 64

Üst vuruq kimi oxunub: 256 · 14 / .

Düz

256 üstü 1 / 4 = ⁴√(256) = 4

44 = 256.

Səhv

25 üstü mənfi −1 / 2 = −5

Mənfi üst mənfi ədəd vermir.

Düz

25 üstü mənfi −1 / 2 = 1√(25) / = 15 /

Mənfi üst tərs ədəd deməkdir.

Səhv

(−64) üstü 1 / 3 = −4

Mənfi əsasın kəsr üstlü qüvvətinə baxılmır.

Düz

³√(−64) = −4

Kök şəklində doğrudur; (−64) üstü 1 / 3 isə mənasızdır.

Səhv

³√(4y) = 4y üstü 1 / 3

Üst yalnız y-ə aid oldu.

Düz

³√(4y) = (4y) üstü 1 / 3

Bütün hasil əsasdır — mötərizə vacibdir.

9 · Həyatda

Fil dovşandan neçə dəfə çox enerji işlədir?

Biologiyada belə bir qanunauyğunluq var (Kleiber qanunu): məməlinin sakit halda gündəlik enerji ehtiyacı təqribən kütləsinin 34 / üstlü qüvvəti ilə mütənasibdir. Kütlə k dəfə artanda ehtiyac k üstü 3 / 4 dəfə artır.

Fil dovşandan 4096 dəfə ağırdır, enerji ehtiyacı isə 512 dəfə çoxdur

Zolaqlar miqyaslıdır: narıncı zolaq mavinin səkkizdə biridir.

Kütləsi 6144 kq olan fil kütləsi 1,5 kq olan dovşandan 6144 : 1,5 = 4096 dəfə ağırdır. 84 = 4096 olduğundan:

4096 üstü 3 / 4 = (⁴√(4096))3 = 83 = 512.

Fil 4096 dəfə ağırdır, amma ona təqribən 512 dəfə çox enerji lazımdır. Hər kiloqrama düşən ehtiyac: 5124096 / = 18 / — fildə 8 dəfə az.

Qanunauyğunluq təqribidir: real heyvanlarda ədədlər bir qədər fərqlənir.

10 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan 12 üstü 4 / 5 qüvvətini kök şəklində yaz. Cavab variantları ⁴√(125) ⁵√(124) ⁵√(48) ²⁰√(12) Düzdür: məxrəc 5 — kökün üstü, surət 4 — qüvvət üstü. Yox. Məxrəc kökün üstü olur, surət isə kökaltının qüvvət üstü; heç nə vurulmur. Həllə bax 12 üstü 4 / 5 = ⁵√(124).
2. Asan 0,04 üstü −0,5-i hesabla. Cavab variantları −0,2 0,2 5 −0,02 Düzdür: 0,04−1 = 25, √(25) = 5. Yox. Mənfi üst tərs ədəd verir, mənfi ədəd yox; 0,5 isə kvadrat kökdür. Həllə bax −0,5 = −12 / ; 0,04 üstü −0,5 = √(0,04−1) = √(25) = 5.
3. Orta (18 / ) üstü mənfi −4 / 3-i hesabla. Cavab variantları 116 / 16 2 4096 Düzdür: (18 / )−1 = 8, (³√(8))4 = 16. Yox. Mənfi üst kəsri çevirir; sonra əvvəl kub kök, sonra 4-cü qüvvət. Həllə bax (18 / ) üstü mənfi −4 / 3 = 8 üstü 4 / 3 = (³√(8))4 = 24 = 16.
4. Orta x-in hansı qiymətlərində (7 − x) üstü mənfi −1 / 6 ifadəsinin mənası var? Cavab variantları x ≤ 7 x > 7 x < 7 x ≠ 7 Düzdür: üst mənfidir, əsas yalnız müsbət ola bilər. Yox. Üst mənfidirsə, əsas sıfır da ola bilməz və mənfi də ola bilməz. Həllə bax 7 − x > 0 ⇒ x < 7.
5. Çətin a = 0,7 üstü 2 / 3, b = 0,7 üstü 3 / 4, c = 0,7 üstü 1 / 2. Düzgün sıranı seç. Cavab variantları c < a < b b < a < c a < c < b Düzdür: əsas 1-dən kiçikdir, üstü böyük olan kiçikdir. Yox. Əsas 0,7 < 1: üst böyüdükcə qiymət kiçilir. Həllə bax 12 / < 23 / < 34 / (ortaq məxrəc 12: 6, 8, 9). Əsas 1-dən kiçik olduğundan sıra tərsinə çevrilir: b < a < c.
6. Çətin (x − 1) üstü 2 / 3 = 4 tənliyini həll et. Cavab variantları x = 9 x = 9 və x = −7 x = 7 x = 65 Əla! −7 − 1 = −8 mənfi əsas verir, ona görə yalnız 9 qalır. Yox. Tərifə görə yaz: kub kök altında kvadrat. Sonra əsasın mənfi ola bilməyəcəyini yoxla. Həllə bax ³√((x − 1)2) = 4 ⇒ (x − 1)2 = 64 ⇒ x − 1 = 8 və ya x − 1 = −8. Əsas x − 1 mənfi ola bilməz, ona görə x = 9. Yoxlama: 8 üstü 2 / 3 = (³√(8))2 = 4.

Xülasə

Yadda qalanlar

• a üstü m / n = n√(am)a > 0: məxrəc — kökün üstü, surət — qüvvət üstü. m > 0 olduqda 0 üstü m / n = 0; mənfi əsasın kəsr üstlü qüvvətinə baxılmır.
• Əvvəl kök, sonra qüvvətMənfi üst tərs ədəd verir; onluq və qarışıq kəsr üstü əvvəl adi kəsrə çevir.
• Mənası və müqayisəMüsbət üstdə əsas ≥ 0, mənfi üstdə > 0. Müqayisədə qüvvətləri ortaq üstlü köklərə çevir; eyni əsasda a > 1 və 0 < a < 1 halları tərsinədir.

Növbəti mövzu: 4.10 Rasional üstlü qüvvətin xassələri

Mənbə: «Riyaziyyat» — 9-cu sinif üçün dərslik, «1-3. Rasional üstlü qüvvət» dərsi (tərif, sıfır və mənfi əsaslar haqqında qeydlər, öyrənmə tapşırıqları), səh. 21–22. Sitatlar dərslikdəndir; nümunələrdəki ədədlər bu dərs üçün seçilib. Bakteriya artımı bu dərs üçün qurulmuş modeldir; enerji ehtiyacı ilə kütlə arasındakı əlaqə (Kleiber qanunauyğunluğu) təqribidir.