Komponentləri ilə verilmiş vektorlar üzərində əməllər

• 4.60
• 9-cu sinif
• Vektorlar

Komponentləri ilə verilmiş vektorlar üzərində əməllər

Qüllə kranının pultunda iki hazır proqram var: P arabacığı 5 m irəli aparır və qarmağı 1 m qaldırır, Q isə 1 m geri aparır və 5 m endirir. Operator yükü maşından gəmiyə keçirmək üçün P-ni iki dəfə, sonra Q-nu işə salır. Yük hara düşəcək? Şəkil çəkmək lazım deyil: hər mühərrik öz hesabını ayrıca aparır — 2P + Q = ⟨9; −3⟩.

Bu dərsdə

• vektoru ədədə vurmağı, vektorların fərqini və kombinasiyalarını komponentlərlə hesablayacaq, nəticənin uzunluğunu tapacaq və bu qaydaların niyə doğru olduğunu izah edəcəksən;
• iki vektorun kollinear olub-olmadığını komponentlərinə görə yoxlayacaq, naməlum komponenti tapacaq və istiqaməti deyəcəksən;
• vektor bərabərliyi ilə naməlum nöqtəni, parçanı verilmiş nisbətdə bölən nöqtəni və üçbucağın ağırlıq mərkəzini tapacaqsan.

Qüllə kranı yükü maşından gəmiyə keçirir

Başla Yenidən Yenidən

1 xana = 1 m. Arabacıq x oxu, qarmaq y oxu boyunca hərəkət edir.

1. Kəşf et
2. Qayda
3. Laboratoriya
4. Kollinear vektorlar
5. Hesabla
6. Diqqət
7. Həyatda
8. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Hər mühərrik öz hesabını aparır

Yadına sal: a = ⟨x; y⟩ yazılışında x vektorun x oxu boyunca, y isə y oxu boyunca dəyişməsidir. Bunu belə təsəvvür et: işıq düz yuxarıdan düşəndə vektorun kölgəsi x oxuna düşür, yandan düşəndə y oxuna. Komponentlər vektorun oxlar üzərindəki kölgələridir — işarəsi ilə: sağa və yuxarı müsbət, sola və aşağı mənfi.

Kranda bu kölgələr gözlə görünür. Arabacığın yerdəyişməsi yükün x komponentidir, qarmağın yerdəyişməsi y komponentidir. Hər proqram iki mühərriki eyni anda bərabər sürətlə işlədir, ona görə yük düz xətt üzrə gedir. Pultda bir neçə əmri sınayaq:

Pult əmrləri və yükün yerdəyişməsi

Kölgələr: iki P vektoru ucu-uca

Başla Yenidən Yenidən

İki P ucu-uca qoyulub. x oxundakı kölgələr 5 + 5 = 10, y oxundakılar 1 + 1 = 2: nəticə 2P = ⟨10; 2⟩.

Cədvəldə üç qayda görünür. Əmri k dəfə işlətmək hər mühərrikin yolunu k dəfə artırır — hər komponent k-ya vurulur. İki əmri ardıcıl işlətmək mühərriklərin yollarını toplayır — uyğun komponentlər toplanır (bunu 4.58-də görmüşdün). Əmri tərsinə işlətmək isə hər iki işarəni dəyişir.

2 · Qayda

Hər əməl hər ox üzrə ayrıca

Yadda saxla

«u = ⟨a₁; b₁⟩ vektorunun k ədədinə hasili, ku vektorunun komponentlərlə yazılışı ku = ⟨ka₁; kb₁⟩ olur.»

ku = ⟨ka₁; kb₁⟩

«Xüsusi halda k = −1 olduqda v = ⟨a₂; b₂⟩ vektoru üçün −v = ⟨−a₂; −b₂⟩ olduğundan u və v vektorlarının fərqi u − v = u + (−v) = ⟨a₁ − a₂; b₁ − b₂⟩ olar.»

Dərslik, «8-5. Komponentləri ilə verilmiş vektorlar üzərində əməllər».

Oxşar kölgə üçbucaqları

u və ku (burada k = 2) eyni düz xətt üzərindədir. Onların «kölgə üçbucaqları» oxşardır, oxşarlıq əmsalı k-dır: hər iki katet — hər iki komponent — k dəfə dəyişir.

Niyə belədir? 4.59-dan bilirsən ki, ku vektoru u ilə kollineardır və uzunluğu |k| · |u|-dur. u-nu O nöqtəsindən çəkək və ucundan x oxuna perpendikulyar endirək: katetləri |a₁| və |b₁| olan düzbucaqlı üçbucaq alınır. ku üçün də eyni qurmanı aparaq. İki üçbucağın O-dakı bucağı ortaqdır, hər birində düz bucaq var — üçbucaqlar oxşardır, hipotenuzların nisbəti |k|-dır. Deməli, katetlər də |k| dəfə böyüyür. k > 0 olanda vektor eyni tərəfə baxır və kölgələrin işarəsi qalır; k < 0 olanda vektor çevrilir, hər iki kölgə o biri tərəfə düşür və işarələr dəyişir. Hər iki halda komponentlər ka₁ və kb₁ olur.

Əks vektor

−v = ⟨−a₂; −b₂⟩

Hər iki kölgə o biri tərəfə düşür; uzunluq dəyişmir.

Fərqi yoxla

v + (u − v) = u

Komponentlərlə: a₂ + (a₁ − a₂) = a₁, b₂ + (b₁ − b₂) = b₁.

Tanış düstur. A(x₁; y₁) və B(x₂; y₂) nöqtələri üçün OA və OB vektorlarının komponentləri bu nöqtələrin koordinatlarıdır. Ona görə AB = OB − OA = ⟨x₂ − x₁; y₂ − y₁⟩ — 4.52-dən bildiyin «son nöqtədən başlanğıcı çıx» qaydası fərq qaydasının özüdür. Dərslik də bu ədədlərə həm «koordinatlar», həm «komponentlər» deyir.

Kombinasiyalar. Bu iki qaydanı cəm qaydası ilə birləşdirsək, istənilən mu + nv ifadəsi hesablanır:

mu + nv = ⟨ma₁ + na₂; mb₁ + nb₂⟩

Nəticənin uzunluğu həmişə onun öz komponentlərindən tapılır: |⟨x; y⟩| = √(x² + y²) (4.52).

3 · Laboratoriya

İfadəni seç, zəncirə bax

u = ⟨4; 2⟩ (mavi), v = ⟨−2; 2⟩ (narıncı). Seçdiyin ifadə O nöqtəsindən ucu-uca zəncir kimi çəkilir, yaşıl ox nəticədir. Qırıq xətt əks vektoru göstərir.

İfadəni seç

u + v u − v v − u 2u + v

Kombinasiya laboratoriyası

u + v = ⟨4 + (−2); 2 + 2⟩ = ⟨2; 4⟩. Uzunluğu √(2² + 4²) = √20 = 2√5 ≈ 4,47.

u − v = u + (−v) = ⟨4 − (−2); 2 − 2⟩ = ⟨6; 0⟩. Uzunluğu √36 = 6. Nəticə x oxu boyuncadır: onun y kölgəsi sıfırdır.

v − u = ⟨−2 − 4; 2 − 2⟩ = ⟨−6; 0⟩ — bu, u − v-nin əks vektorudur. Uzunluğu yenə 6-dır, istiqaməti əksdir.

2u + v = ⟨2 · 4 + (−2); 2 · 2 + 2⟩ = ⟨6; 6⟩. Uzunluğu √72 = 6√2 ≈ 8,49.

Mavi u, narıncı v; zəncirin sonu nəticə vektorunun ucudur.

Laboratoriyada yoxla.

• u − v və v − u seç. Komponentləri necə fərqlənir? Uzunluqları?
• 2u + v zəncirində neçə ox var? Nəticəni zəncirsiz, yalnız ədədlərlə necə hesablayarsan?
• Dörd nəticədən hansı ən uzundur? Uzunluqları kökaltı ifadələrlə müqayisə et.

Cavablara bax

v − u-nin komponentləri u − v-ninkilərin əks işarəlisidir: bunlar əks vektorlardır, uzunluqları eynidir (6). 2u + v zəncirində üç ox var: u, u, v; ədədlərlə: ⟨2 · 4 + (−2); 2 · 2 + 2⟩. Ən uzunu 2u + v-dir: √72 > √36 > √20.

4 · Kollinear vektorlar

Uyğun komponentlər mütənasibdir

4.59-dan: v vektoru sıfırdan fərqli u vektoruna kollineardırsa, v = ku. Bunu komponentlərlə yazaq: ⟨a₂; b₂⟩ = ⟨ka₁; kb₁⟩, yəni a₂ = ka₁ və b₂ = kb₁. Hər iki komponent eyni ədədə vurulub.

Yadda saxla

«Kollinear vektorların uyğun koordinatları mütənasibdir. Tərsinə, u və v vektorlarının uyğun koordinatları mütənasibdirsə, onda bu vektorlar kollineardır. a₁ ≠ 0, b₁ ≠ 0 olduqda u⟨a₁; b₁⟩ və v⟨a₂; b₂⟩ vektorlarının kollinearlıq şərti belə yazılır:»

a₂a₁ / = b₂b₁ /

Dərslik, «8-5».

Bərabər nisbətlərin qiyməti elə k-dır. İşarəsi istiqaməti deyir (4.59): k > 0 — eyni istiqamətli, k < 0 — əks istiqamətli.

Kollinear və kollinear olmayan vektorlar

Hamısı O-dan çəkilib, c = ⟨−3; −4⟩. c-yə kollinear vektorlar onunla bir düz xətt (qırıq xətt) üzərindədir; w bu xətdən çıxır.

• p = ⟨−4,5; −6⟩: −4,5−3 / = 1,5 və −6−4 / = 1,5. Nisbətlər bərabərdir: p = 1,5c, eyni istiqamətli.
• q = ⟨1,5; 2⟩: 1,5−3 / = −0,5 və 2−4 / = −0,5: q = −12 / c, əks istiqamətli.
• w = ⟨−5; −5⟩: −5−3 / = 53 / , amma −5−4 / = 54 / . Hər iki komponent böyüyüb, lakin fərqli dəfə — w vektoru c-yə kollinear deyil.

Naməlum komponent. m-in hansı qiymətində ⟨−2; 7⟩ və ⟨m; −21⟩ vektorları kollineardır? Şərtə görə m−2 / = −217 / = −3, buradan m = (−3) · (−2) = 6. Nisbət k = −3 < 0, ona görə vektorlar əks istiqamətlidir.

Komponentlərdən biri sıfırdırsa, nisbət yazılmır. Məsələn, ⟨0; b₁⟩ (b₁ ≠ 0) vektoruna kollinear vektorun birinci komponenti də 0 olmalıdır, çünki k · 0 = 0.

5 · Hesabla

Beş tipik məsələ

Plan həmişə eynidir: vektorları komponentlərlə yaz, hər əməli hər ox üzrə ayrıca apar, bərabər vektorlarda uyğun komponentləri bərabərləşdir.

Nümunə 1Kombinasiya və uzunluq

a = ⟨−6; 6⟩, b = ⟨4; −5⟩. 12 / a + 3b vektorunu və onun uzunluğunu tapın.

1. Hər vektoru öz ədədinə vururuq: 12 / a = ⟨−3; 3⟩, 3b = ⟨12; −15⟩.
2. Uyğun komponentləri toplayırıq: ⟨−3 + 12; 3 + (−15)⟩ = ⟨9; −12⟩.
3. Uzunluq: √(9² + (−12)²) = √(81 + 144) = √225 = 15. 12 / a + 3b = ⟨9; −12⟩, uzunluğu 15

Nümunə 2Bərabər vektorlar: naməlum təpə

ABCD paraleloqramında A(−6; −3), B(5; −3), C(6; 3). D təpəsini tapın.

ABCD paraleloqramı

1. Paraleloqramın qarşı tərəfləri paralel və bərabərdir, AB və DC eyni istiqamətə baxır: AB = DC.
2. AB = ⟨5 − (−6); −3 − (−3)⟩ = ⟨11; 0⟩. D(x; y) olsun: DC = ⟨6 − x; 3 − y⟩.
3. Bərabər vektorların uyğun komponentləri bərabərdir: 6 − x = 11, 3 − y = 0, buradan x = −5, y = 3.
4. Yoxlama: AC-nin ortası (−6 + 62 / ; −3 + 32 / ) = (0; 0), BD-nin ortası (5 + (−5)2 / ; −3 + 32 / ) = (0; 0) — diaqonallar kəsişmə nöqtəsində yarıya bölünür. D(−5; 3)

Nümunə 3Parametr və istiqamət

m-in hansı qiymətində a = ⟨m; 2⟩ və b = ⟨32; m⟩ vektorları kollinear və əks istiqamətlidir?

1. Kollinearlıq şərti (m ≠ 0; m = 0 olanda ⟨0; 2⟩ və ⟨32; 0⟩ kollinear deyil): 32m / = m2 / .
2. Nisbətin əsas xassəsi: m · m = 32 · 2, m² = 64, m = 8 və ya m = −8.
3. İstiqaməti yoxlayırıq. m = 8: a = ⟨8; 2⟩, b = ⟨32; 8⟩ = 4a, k = 4 > 0 — eyni istiqamətli. m = −8: a = ⟨−8; 2⟩, b = ⟨32; −8⟩ = −4a, k = −4 < 0 — əks istiqamətli. m = −8

Nümunə 4Parçanı nisbətdə bölən nöqtə

K(−3; −5), L(2; 5). M nöqtəsi KL parçası üzərindədir və KM : ML = 3 : 2. M-i tapın.

KL parçasının 3 : 2 nisbətində bölünməsi

1. Parça 3 + 2 = 5 bərabər hissədir, KM onlardan 3-üdür və eyni istiqamətə baxır: KM = 35 / KL.
2. KL = ⟨2 − (−3); 5 − (−5)⟩ = ⟨5; 10⟩, KM = 35 / · ⟨5; 10⟩ = ⟨3; 6⟩.
3. M nöqtəsinə K-dan KM qədər gedirik: M(−3 + 3; −5 + 6) = M(0; 1). Yoxlama: ML = ⟨2; 4⟩ = 25 / KL. M(0; 1)

Nümunə 5Medianların kəsişmə nöqtəsi

DEF üçbucağında E(0; 4), D(−5; −4), F(8; −3). Medianların kəsişmə nöqtəsi G-ni tapın. Dərslikdə deyildiyi kimi, «medianların kəsişmə nöqtəsi üçbucağın ağırlıq mərkəzi adlanır».

DEF üçbucağının medianları

1. EN medianını götürək: N — DF tərəfinin ortasıdır, N(−5 + 82 / ; −4 + (−3)2 / ) = N(1,5; −3,5).
2. Medianlar kəsişmə nöqtəsində təpədən başlayaraq 2 : 1 nisbətində bölünür (8-ci sinif): EG = 23 / EN. EN = ⟨1,5; −7,5⟩, EG = ⟨1; −5⟩.
3. G(0 + 1; 4 + (−5)) = G(1; −1). G(1; −1)

Ümumi düstur. Eyni hesabı hərflərlə aparaq; O koordinat başlanğıcıdır və N — DF-in ortasıdır:

OG = OE + 23 / (ON − OE) = 13 / OE + 23 / ON,ON = 12 / (OD + OF),OG = 13 / (OE + OD + OF).

Komponentlərlə: medianların kəsişmə nöqtəsinin koordinatları təpələrin koordinatlarının ədədi ortasıdır,

G(x₁ + x₂ + x₃3 / ; y₁ + y₂ + y₃3 / )

Yoxla: (0 + (−5) + 8) : 3 = 1, (4 + (−4) + (−3)) : 3 = −1 — yenə G(1; −1).

6 · Diqqət

Dörd tipik səhv

Mənfinin mənfisi

⟨1; 2⟩ − ⟨−6; 4⟩ = ⟨−5; −2⟩

1 − (−6) «1 − 6» kimi hesablanıb.

Düzgün

⟨1; 2⟩ − ⟨−6; 4⟩ = ⟨7; −2⟩

1 − (−6) = 1 + 6 = 7, 2 − 4 = −2.

Yarımçıq

3 · ⟨−4; −1⟩ = ⟨−12; −1⟩

Ədəd yalnız birinci komponentə vurulub.

Hər ikisi

3 · ⟨−4; −1⟩ = ⟨−12; −3⟩

Hər iki kölgə 3 dəfə uzanır.

Modullar toplandı

|⟨−20; 21⟩| = 20 + 21 = 41

Uzunluq kölgələrin cəmi deyil — bu, pilləkənli yolun uzunluğudur.

Pifaqor

√(400 + 441) = √841 = 29

Kölgələr düzbucaqlı üçbucağın katetləridir, vektor hipotenuzdur.

Çarpaz nisbət

⟨5; 4⟩ ∥ ⟨m; 12⟩: m5 / = 412 /

Birinci vektorun iki komponenti bir-birinə bölünüb: alınan m = 53 / yanlışdır.

Düzgün

m5 / = 124 / = 3, m = 15

Birinci komponent birinciyə, ikinci ikinciyə bölünür.

7 · Həyatda

Gəmi düz mayaka gedirmi?

Dəniz xəritəsində koordinatlar kilometrlə verilib (xəritədə bir xana 5 km-dir); şərq x oxunun, şimal y oxunun müsbət istiqamətidir. Gəmi indi S(−21; −12) nöqtəsindədir və sabit kursla gedir: hər saatda yerdəyişməsi v = ⟨16; 12⟩ km-dir. t saatda yerdəyişmə tv olur, yəni gəmi S-dən v istiqamətində çəkilən düz xətt üzrə hərəkət edir.

Gəminin kurs xəritəsi

O — koordinat başlanğıcı. Qırıq xətt gəminin kurs xəttidir. Mayak qabaqda, şamandıra arxada bu xətt üzərindədir, qaya isə xəttdən kənardadır.

Gəmi limana gedir. Limanın girişində, molun ucunda mayak var: M(3; 6). Kursa yaxın daha iki obyekt var: şamandıra B(−33; −21) və qaya R(−9; 1). Gəmidən hər birinə çəkilən vektoru v ilə müqayisə edək.

• Mayak: SM = ⟨3 − (−21); 6 − (−12)⟩ = ⟨24; 18⟩. 2416 / = 1812 / = 1,5, yəni SM = 1,5v. k > 0: mayak qabaqdadır, gəmi düz liman girişinə gedir və 1,5 saatdan (1 saat 30 dəqiqədən) sonra mayakın yanında olacaq.
• Şamandıra: SB = ⟨−12; −9⟩. −1216 / = −912 / = −0,75, SB = −0,75v. k < 0: şamandıra da kurs xəttindədir, amma arxada — gəmi onun yanından 45 dəqiqə əvvəl keçib.
• Qaya: SR = ⟨12; 13⟩. 1216 / = 0,75, 1312 / ≈ 1,08 — nisbətlər fərqlidir, SR və v kollinear deyil: qaya kurs xəttində deyil.

Bir kollinearlıq yoxlaması iki suala birdən cavab verir: obyekt kursun üstündədirmi və qabaqdadır, yoxsa arxada? Burada dəniz düz müstəvi, kurs və sürət isə sabit qəbul olunub.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan −3 · ⟨2; −1,5⟩ vektorunu tapın. Cavab variantları ⟨−6; −4,5⟩ ⟨−6; −1,5⟩ ⟨−6; 4,5⟩ ⟨6; −4,5⟩ Düzdür! (−3) · 2 = −6, (−3) · (−1,5) = 4,5. Yox. −3 hər iki komponentə, işarəsi ilə birlikdə vurulur: mənfi · mənfi = müsbət. Həllə bax −3 · ⟨2; −1,5⟩ = ⟨(−3) · 2; (−3) · (−1,5)⟩ = ⟨−6; 4,5⟩.
2. Asan u = ⟨7; −4⟩, v = ⟨−6; −3⟩. u − v vektorunu tapın. Cavab variantları ⟨1; −7⟩ ⟨13; −1⟩ ⟨13; −7⟩ ⟨−13; 1⟩ Əla! 7 − (−6) = 13, −4 − (−3) = −1. Yox. Komponentləri çıx (toplama yox), sıra u − v-dir, və −(−3) = +3. Həllə bax u − v = ⟨7 − (−6); −4 − (−3)⟩ = ⟨7 + 6; −4 + 3⟩ = ⟨13; −1⟩.
3. Orta a = ⟨2; −6⟩, b = ⟨5; −5⟩. a + 2b vektorunun uzunluğunu tapın. Cavab variantları 28 √170 400 20 Düzdür: a + 2b = ⟨12; −16⟩, √(144 + 256) = 20. Yox. Əvvəl 2b-ni tap və topla, sonra nəticənin komponentlərindən √(x² + y²) hesabla. Həllə bax 2b = ⟨10; −10⟩, a + 2b = ⟨2 + 10; −6 + (−10)⟩ = ⟨12; −16⟩. Uzunluq √(12² + 16²) = √400 = 20.
4. Orta Hansı vektor c = ⟨−4; 10⟩ vektoruna kollinear və əks istiqamətlidir? Cavab variantları ⟨−6; 15⟩ ⟨10; −4⟩ ⟨6; −15⟩ ⟨6; 15⟩ Əla! 6−4 / = −1510 / = −1,5 < 0. Yox. Uyğun komponentlərin nisbətləri bərabər olmalıdır və mənfi çıxmalıdır. Həllə bax ⟨6; −15⟩: 6−4 / = −1,5, −1510 / = −1,5 — kollinear, k < 0. ⟨−6; 15⟩ üçün k = 1,5 (eyni istiqamət); ⟨6; 15⟩ və ⟨10; −4⟩-də nisbətlər fərqlidir.
5. Çətin y-in hansı qiymətində ⟨6; y⟩ və ⟨−10; 15⟩ vektorları kollineardır? Cavab variantları 9 −9 −4 −0,6 Düzdür! y15 / = 6−10 / , y = −9. Yox. Uyğun komponentləri böl: y15 / = 6−10 / — nisbətin özü cavab deyil, ondan y-i tap. Həllə bax 6−10 / = y15 / , buradan y = 15 · (−0,6) = −9. Yoxlama: ⟨6; −9⟩ = −0,6 · ⟨−10; 15⟩.
6. Çətin A(0; −3), C(4; 1). C nöqtəsi AB parçası üzərindədir və AC : CB = 2 : 3. B nöqtəsini tapın. Cavab variantları (6; 3) (10; 7) (8; 5) (−6; −9) Əla! AC 5 hissədən 2-sidir: AB = 52 / AC. Yox. Parça 2 + 3 = 5 hissədir və AC onlardan 2-sidir: AC = 25 / AB. C orta nöqtə deyil, B isə A-dan C tərəfdədir. Həllə bax AC = ⟨4; 4⟩. AC = 25 / AB, ona görə AB = 52 / AC = ⟨10; 10⟩. B(0 + 10; −3 + 10) = B(10; 7).

Xülasə

Yadda qalanlar

• ku = ⟨ka₁; kb₁⟩Komponentlər oxlar üzərindəki kölgələrdir: vurma, toplama, çıxma və onların kombinasiyaları hər ox üzrə ayrıca aparılır; uzunluq nəticənin komponentlərindən tapılır.
• a₂a₁ / = b₂b₁ / Kollinear vektorların uyğun komponentləri mütənasibdir; nisbətin işarəsi istiqaməti deyir.
• Bərabər vektor — bərabər komponentlərNaməlum nöqtə vektor bərabərliyindən tapılır; nisbətdə bölən nöqtə və medianların kəsişmə nöqtəsi vektorun hissəsi ilə hesablanır.

Növbəti mövzu: 4.61 Paralel köçürmə

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 9-cu sinif», «8-5. Komponentləri ilə verilmiş vektorlar üzərində əməllər», səh. 181 (vurma və fərq qaydaları, kollinearlıq şərti); «Ümumiləşdirici tapşırıqlar», səh. 188 (ağırlıq mərkəzi termini); şərq və şimal istiqamətlərinin oxlarla seçilməsi «8-2» bölməsindən. Kölgə və oxşar üçbucaq izahı, kran, gəmi və bütün ədədlər bu dərs üçün seçilib.