İrrasional tənliklər · Yad kökü yoxlama ilə atmaq

1 · Əsas fikir

Hesabi kök mənfi ola bilməz

Qayda

√x + 2 hesabi kökdür, yəni həmişə ≥ 0. Ona görə sağ tərəf də mənfi olmamalıdır. Kvadrata yüksəltdikdə bu şərt itir və yad kök yarana bilər — tapılan hər ədədi yoxlayırıq.

√f(x) = g(x) ⇔ f(x) = g(x)², g(x) ≥ 0

2 · Həll

Addım-addım həll

TapşırıqYad kökü yoxlama ilə atmaq

√x + 2 = x − 4 tənliyini həll edin.

1. Şərt: sol tərəf ≥ 0, deməli x − 4 ≥ 0, yəni x ≥ 4 olmalıdır.
2. Kvadrata yüksəldirik: x + 2 = (x − 4)² = x² − 8x + 16.
3. Sadələşdiririk: x² − 9x + 14 = 0. Viyet teoreminə görə köklərin cəmi 9, hasili 14: x₁ = 2, x₂ = 7.
4. x₁ = 2 < 4 şərti ödəmir: √4 = 2, sağ tərəf isə 2 − 4 = −2. Bu yad kökdür. x₂ = 7 ≥ 4 şərti ödəyir.

x = 7

y = √(x + 2) və y = x − 4 qrafikləri

Mavi əyri və narıncı düz xətt yalnız x = 7-də kəsişir. Yad kök x = 2 qırmızı qırıq əyridən — y = −√(x + 2)-dən gəlir: kvadrata yüksəltmə ilə √ və −√ fərqlənmir.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayırıq

x = 7: √7 + 2 = √9 = 3 və 7 − 4 = 3 — bərabərdir ✓. x = 2: √2 + 2 = 2, amma 2 − 4 = −2; 2 ≠ −2 ✗.

4 · Diqqət

Kvadrata yüksəldikdən sonra yoxlamadan cavab yazmayın

Səhv yol

x² − 9x + 14 = 0 ⇒ cavab: 2 və 7

Kvadrat tənliyin hər kökü ilkin irrasional tənliyin kökü deyil.

Düzgün yol

x ≥ 4 şərti ⇒ yalnız x = 7

Şərt və ya yoxlama yad kökü atır.

Digər cavablar niyə səhvdir

• 2 — bu yad kökdür: sol tərəf 2, sağ tərəf −2.
• 2 və 7 — yoxlama edilməyib; x = 2 tənliyi ödəmir.
• −7 — üçhədli səhv vuruqlara ayrılıb; x = −7-də kökaltı ifadə −5 olur, √(−5) mənasızdır.
• Kökü yoxdur — x = 7 tənliyi ödəyir (3 = 3).

Dərslikdəki √(x − 3) + x = 5 tənliyi də eyni yolla həll olunur: köklər 4 və 7, yoxlamadan yalnız 4 keçir.