İrrasional tənliklər · Sağ tərəfin işarəsinə görə iki hal

1 · Əsas fikir

Sağ tərəfin işarəsinə görə iki hal

Qayda

√f(x) > g(x) bərabərsizliyində sağ tərəf mənfi ola da bilər, mənfi olmaya da. Mənfi olduqda bərabərsizlik təyin oblastının hər nöqtəsində doğrudur (≥ 0 > mənfi). Mənfi olmadıqda hər iki tərəfi kvadrata yüksəltmək olar.

{g < 0, f ≥ 0} və ya {g ≥ 0, f > g²}

2 · Həll

Addım-addım həll

TapşırıqSağ tərəfin işarəsinə görə iki hal

√x + 4 > x − 2 bərabərsizliyini həll edin.

1. 1-ci hal: x − 2 < 0. Sol tərəf ≥ 0, sağ tərəf mənfi — bərabərsizlik x + 4 ≥ 0 olan bütün x-lər üçün ödənir: {x < 2, x ≥ −4} ⇒ [−4; 2).
2. 2-ci hal: x − 2 ≥ 0. Kvadrata yüksəldirik: x + 4 > x² − 4x + 4 ⇒ x² − 5x < 0 ⇒ 0 < x < 5.
3. x ≥ 2 şərti ilə: [2; 5).
4. Halları birləşdiririk: [−4; 2) ∪ [2; 5) = [−4; 5).

[−4; 5)

y = √(x + 4) və y = x − 2 qrafikləri

Mavi əyri x = −4-dən x = 5-ə qədər narıncı düz xəttin üstündədir; x = 5-də onlar bərabərdir, ona görə 5 həllə daxil deyil.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayırıq

x = −4: √0 = 0 > −6 ✓. x = 0: 2 > −2 ✓. x = 5: √9 = 3 > 3 yalandır ✗. x = 6: √10 ≈ 3,16 > 4 yalandır ✗.

4 · Diqqət

Birbaşa kvadrata yüksəltməyin

Səhv yol

x + 4 > (x − 2)² ⇒ (0; 5)

Sağ tərəf mənfi olanda kvadrata yüksəltmə bərabərsizliyin istiqamətini pozur: x = −3 üçün 1 > −5 doğrudur, amma 1 > 25 yalandır.

Düzgün yol

1-ci hal ∪ 2-ci hal

Mənfi sağ tərəf ayrıca hal kimi baxılır.

Digər cavablar niyə səhvdir

• (0; 5) — 1-ci hal nəzərə alınmayıb; məsələn x = −2 bərabərsizliyi ödəyir (√2 > −4).
• [2; 5) — yalnız 2-ci halın həlli yazılıb.
• [−4; 2) — yalnız 1-ci halın həlli yazılıb.
• (−4; 5] — sərhədlər tərsinə: −4 ödəyir (0 > −6), 5 ödəmir (3 > 3 yalandır).

Dərslikdəki √(x + 3) > x + 1 nümunəsi də bu iki hal ilə həll olunur: cavab [−3; 1).