Loqarifmik tənliklər sistemi · cəbri toplama üsulu

Tənliklər sistemi verilib:

\begin{cases} \log_2 x + \log_2 y = 5,\\ \log_2 x - \log_2 y = 1 \end{cases}

Tənliklər sistemindən x + y cəmini tapın.

İzahı göstər

Loqarifmik tənliklər sistemi · izah

Cəbri toplama üsulu

log2x + log2y = 5,log2x − log2y = 1

Tənliklər sistemindən x + y cəmini tapın.

1 · Əsas fikir

Nəyə əsaslanırıq?

Yadda saxla

Hər iki tənlikdə eyni ifadələr var: log2x və log2y. Onları yeni məchullar kimi götürsək, adi xətti sistem alırıq və onu cəbri toplama üsulu ilə həll edirik. Sonda loqarifmin tərifi ilə ədədlərə qayıdırıq: log2x = c ⇔ x = 2c.

2 · Həll

Addım-addım həll

HəllTəyin oblastından cavaba qədər

Təyin oblastı: loqarifmlər yalnız müsbət ədədlər üçün var, ona görə x > 0, y > 0.
u = log2x, v = log2y işarə edək: u + v = 5, u − v = 1.
Tənlikləri toplayaq: 2u = 6, yəni u = 3. Birincidən ikincini çıxaq: 2v = 4, yəni v = 2.
Ədədlərə qayıdırıq: log2x = 3 ⇒ x = 23 = 8, log2y = 2 ⇒ y = 22 = 4. Hər ikisi müsbətdir.
Soruşulan cəm: x + y = 8 + 4 = 12. x + y = 12

3 · Yoxlama

Cavabı ilkin sistemdə yoxlayaq

log28 + log24 = 3 + 2 = 5 ✓ və log28 − log24 = 3 − 2 = 1 ✓.

4 · Diqqət

Tipik səhvlər

Səhv

x + y = 5

log2x + log2y = 5 bərabərliyi x + y = 5 demək deyil: bu loqarifmlərin cəmidir, ədədlərin yox.

Düzgün

x = 8, y = 4 ⇒ x + y = 12

Əvvəl loqarifmləri tapırıq (3 və 2), sonra tərifə görə ədədləri: 2³ və 2².

Digər variantlar niyə səhvdir?

2Bu x : y = 21 nisbətidir — ikinci tənlikdən çıxır, cəm deyil.
5Loqarifmlərin cəmində dayanılıb, x və y tapılmayıb.
10Qüvvətə yüksəltmək əvəzinə vurulub: 2 · 3 + 2 · 2.
32Bu xy = 25 hasilidir — birinci tənlikdən çıxır, cəm deyil.

Mənbə: «Riyaziyyat» 11-ci sinif dərsliyi, «Loqarifmik tənliklər sistemi», səh. 290. Tapşırıqdakı ədədlər bu sual üçün seçilib.