Loqarifmik tənliklər sistemi · hasil düsturu və əvəzetmə

Loqarifmik tənliklər sistemi · izah

Hasil düsturu və əvəzetmə

x + y = 10,log3x + log3y = 2

Tənliklər sistemini həll edin.

1 · Əsas fikir

Nəyə əsaslanırıq?

Yadda saxla

Eyni əsaslı loqarifmlərin cəmi hasilin loqarifminə bərabərdir: log3x + log3y = log3(xy) (x > 0, y > 0). Bu, loqarifmik tənliyi adi cəbri tənliyə çevirir, sonra sistem əvəzetmə ilə həll olunur.

2 · Həll

Addım-addım həll

HəllTəyin oblastından cavaba qədər

1. Təyin oblastı: x > 0, y > 0.
2. Hasil düsturu: log3(xy) = 2, buradan xy = 32 = 9.
3. Birinci tənlikdən y = 10 − x; onda x(10 − x) = 9, yəni x2 − 10x + 9 = 0.
4. Köklər: x1 = 1, x2 = 9 (Viyet: cəm 10, hasil 9). Uyğun olaraq y1 = 9, y2 = 1.
5. Hər iki cütdə x və y müsbətdir, deməli hər ikisi sistemin həllidir. (1; 9) və (9; 1)

x + y = 10 düz xətti ilə xy = 9 hiperbolasının kəsişməsi

Düz xətt hiperbolanı iki nöqtədə kəsir — ona görə sistemin iki həlli var. Nöqtələr y = x düz xəttinə nəzərən simmetrikdir.

3 · Yoxlama

Cavabı ilkin sistemdə yoxlayaq

(1; 9): 1 + 9 = 10, log31 + log39 = 0 + 2 = 2 ✓. (9; 1) cütü eyni bərabərlikləri yerləri dəyişmiş halda ödəyir ✓.

4 · Diqqət

Tipik səhvlər

Səhv

yalnız (1; 9)

Kvadrat tənliyin iki kökü var; x = 9 olanda da uyğun y tapılmalıdır.

Düzgün

(1; 9) və (9; 1)

Sistem x və y-ə görə simmetrikdir: bir həlldə yerləri dəyişsək, yenə həll alırıq.

Digər variantlar niyə səhvdir?

• (1; 9)Simmetrik ikinci cüt (9; 1) unudulub.
• (3; 3)xy = 9 ödənir, amma 3 + 3 ≠ 10 — yalnız bir tənlik yoxlanılıb.
• (5; 5)x + y = 10 ödənir, amma xy = 25 ≠ 9, yəni log325 ≠ 2.
• (2; 8) və (8; 2)Cəm 10-dur, amma xy = 16, log316 ≠ 2.

Mənbə: «Riyaziyyat» 11-ci sinif dərsliyi, «Loqarifmik tənliklər sistemi», səh. 290. Tapşırıqdakı ədədlər bu sual üçün seçilib.