Tənliklər sistemi verilib:
Tənliklər sistemini həll edin.
İzahı göstər
Loqarifmik tənliklər sistemi · izah
Hər iki tərəfi loqarifmləmə
xlg y = 1000,xy = 10000
Tənliklər sistemini həll edin.
1 · Əsas fikir
Nəyə əsaslanırıq?
Yadda saxla
Məchul üstdə olanda tənliyin hər iki tərəfini loqarifmləyirik: lg(xlg y) = lg y · lg x və lg(xy) = lg x + lg y. Beləliklə, a = lg x və b = lg y üçün cəmi və hasili məlum olan sistem alınır.
2 · Həll
Addım-addım həll
HəllTəyin oblastından cavaba qədər
- Təyin oblastı: x > 0, y > 0.
- Birinci tənliyi loqarifmləyək: lg y · lg x = lg 1000 = 3.
- İkinci tənliyi loqarifmləyək: lg x + lg y = lg 10000 = 4.
- a = lg x, b = lg y: ab = 3, a + b = 4. Viyet teoreminə görə a və b ədədləri t2 − 4t + 3 = 0 tənliyinin kökləridir: 1 və 3.
- a = 1, b = 3 ⇒ (10; 1000); a = 3, b = 1 ⇒ (1000; 10). (10; 1000) və (1000; 10)
3 · Yoxlama
Cavabı ilkin sistemdə yoxlayaq
10lg 1000 = 103 = 1000 ✓, 10 · 1000 = 10000 ✓; 1000lg 10 = 10001 = 1000 ✓.
4 · Diqqət
Tipik səhvlər
Səhv
(100; 100)
xy = 10000 ödənir, amma 100lg 100 = 1002 = 10000 ≠ 1000.
Düzgün
lg x · lg y = 3, lg x + lg y = 4
İki tənliyin hər ikisi loqarifmlənir; yalnız sonra ədədlər seçilir.
Digər variantlar niyə səhvdir?
- (100; 100)Yalnız ikinci tənlik ödənir: lg x · lg y = 4 ≠ 3.
- (1; 10000) və (10000; 1)Yalnız ikinci tənlik ödənir: 1-in istənilən qüvvəti 1-dir.
- (10; 1000)Simmetrik ikinci həll (1000; 10) unudulub.
- (−10; −1000)lg y mənfi y üçün mövcud deyil — təyin oblastı pozulub.
Mənbə: DİM, «Riyaziyyat. Test toplusu» (2019, 2023, 2025), II hissə, «Üstlü və loqarifmik tənliklər sistemi». Tapşırıqdakı ədədlər bu sual üçün seçilib.