Üstlü-loqarifmik tənliklər sistemi · x² + y² ifadəsinin ən kiçik qiyməti

Tənliklər sistemi verilib:

\begin{cases} 2^x \cdot 4^{y^2} = 64,\\ \ln x + 2\ln y = \ln(\lg 10000) \end{cases}

Tənliklər sisteminin həlləri üçün x² + y² ifadəsinin ən kiçik qiymətini tapın.

İzahı göstər

Loqarifmik tənliklər sistemi · izah

Sistemin həlləri və x² + y² ifadəsinin ən kiçik qiyməti

2x · 4y² = 64,ln x + 2ln y = ln(lg 10000)

Tənliklər sisteminin həlləri üçün x² + y² ifadəsinin ən kiçik qiymətini tapın.

1 · Əsas fikir

Nəyə əsaslanırıq?

Yadda saxla

Hər tənliyi sadə cəbri bərabərliyə çeviririk: üstlü tənlikdə hər şeyi 2 əsasına gətiririk, loqarifmik tənlikdə isə ln x + 2ln y = ln(xy2) (x > 0, y > 0) yazırıq. «Ən kiçik qiymət» soruşulduğu üçün bütün həllər tapılır və müqayisə olunur.

2 · Həll

Addım-addım həll

HəllTəyin oblastından cavaba qədər

Təyin oblastı: x > 0, y > 0.
2x · 22y² = 26 ⇒ x + 2y2 = 6.
lg 10000 = 4, deməli ln(xy2) = ln 4 ⇒ xy2 = 4.
y2 = (6 − x) : 2 ⇒ x(6 − x) = 8 ⇒ x2 − 6x + 8 = 0 ⇒ x = 2 və ya x = 4.
x = 2: y2 = 2, y = √2; x2 + y2 = 4 + 2 = 6. x = 4: y2 = 1, y = 1 (ln 1 = 0, bu da uyğundur); x2 + y2 = 16 + 1 = 17.
Ən kiçik qiymət: min(6; 17) = 6. ən kiçik qiymət 6

3 · Yoxlama

Cavabı ilkin sistemdə yoxlayaq

(2; √2): 2² · 4² = 4 · 16 = 64 ✓, ln 2 + 2ln √2 = ln 2 + ln 2 = ln 4 ✓. (4; 1): 2⁴ · 4¹ = 64 ✓, ln 4 + 0 = ln 4 ✓.

4 · Diqqət

Tipik səhvlər

Səhv

y² = 2 ⇒ y = 2

y2 = 2 bərabərliyindən y = √2 alınır; x2 + y2 hesabında isə birbaşa y2 = 2 istifadə olunur.

Düzgün

x² + y² = 4 + 2 = 6

y-in özünü tapmağa ehtiyac yoxdur: ifadədə y2 var.

Digər variantlar niyə səhvdir?

4x2 əvəzinə x götürülüb: 2 + 2.
8y2 = 2-dən səhvən y = 2 götürülüb: 4 + 4.
17Bu ikinci həllin qiymətidir — ən böyüyüdür.
23İki həllin qiymətləri toplanıb.

Mənbə: DİM, «Riyaziyyat. Test toplusu» (2019, 2023, 2025), II hissə, «Üstlü və loqarifmik tənliklər sistemi». Tapşırıqdakı ədədlər bu sual üçün seçilib.