Loqarifmik tənliklər sistemi · dəyişən əsaslı loqarifmlər və yeni dəyişən

Loqarifmik tənliklər sistemi · izah

Dəyişən əsaslı loqarifmlər və yeni dəyişən

logxy + logyx = 5/2,x + y = 12

Tənliklər sistemini həll edin.

1 · Əsas fikir

Nəyə əsaslanırıq?

Yadda saxla

Əsasları yer dəyişmiş loqarifmlər qarşılıqlı tərsdir: logyx = 1 : logxy. t = logxy işarə etsək, birinci tənlik t-yə görə adi tənliyə çevrilir. Əsas üçün şərtlər: x > 0, x ≠ 1, y > 0, y ≠ 1.

2 · Həll

Addım-addım həll

HəllTəyin oblastından cavaba qədər

1. Təyin oblastı: x > 0, x ≠ 1, y > 0, y ≠ 1.
2. t = logxy: t + 1/t = 5/2 ⇒ 2t2 − 5t + 2 = 0 ⇒ t = 2 və ya t = 1/2.
3. t = 2: y = x2; x + x2 = 12 ⇒ x = 3 və ya x = −4. x = −4 əsas ola bilməz, qalır (3; 9).
4. t = 1/2: x = y2; y + y2 = 12 ⇒ y = 3 (y = −4 atılır), onda (9; 3).
5. Hər iki cüt təyin oblastına daxildir. (3; 9) və (9; 3)

y = x² və x = y² əyriləri ilə x + y = 12 düz xətti

t = 2 halı y = x² əyrisini, t = 1/2 halı x = y² əyrisini verir; x + y = 12 düz xətti onları (3; 9) və (9; 3) nöqtələrində kəsir.

3 · Yoxlama

Cavabı ilkin sistemdə yoxlayaq

(3; 9): log39 + log93 = 2 + 1/2 = 5/2 ✓, 3 + 9 = 12 ✓. (9; 3) üçün toplananlar yer dəyişir ✓.

4 · Diqqət

Tipik səhvlər

Səhv

(−4; 16) və (3; 9)

x = −4 loqarifmin əsası ola bilməz: əsas müsbət və 1-dən fərqli olmalıdır.

Düzgün

(3; 9) və (9; 3)

İki hal (t = 2 və t = 1/2) iki simmetrik həll verir.

Digər variantlar niyə səhvdir?

• (3; 9)t = 1/2 halı araşdırılmayıb.
• (−4; 16) və (3; 9)Əsasın şərti (x > 0) yoxlanmayıb.
• (4; 8) və (8; 4)Yalnız cəm yoxlanılıb: log48 + log84 = 3/2 + 2/3 ≠ 5/2.
• (2; 10) və (10; 2)Yalnız x + y = 12 şərti ödənir.

Mənbə: «Riyaziyyat» 11-ci sinif dərsliyi, «Loqarifmik tənliklər sistemi», səh. 290. Tapşırıqdakı ədədlər bu sual üçün seçilib.