Loqarifmik tənliklər sistemi · lg a və lg b məchul kimi

Tənliklər sistemi verilib:

\begin{cases} \lg a + \lg b = 5,\\ \lg \dfrac{a^2}{b} = 4 \end{cases}

Sistemdən istifadə edərək aşağıdakı ifadənin qiymətini tapın.

\log_{\sqrt{b}} a

İzahı göstər

Loqarifmik tənliklər sistemi · izah

Məchullar lg a və lg b olanda

lg a + lg b = 5,lg(a2 : b) = 4

Sistemdən istifadə edərək aşağıdakı ifadənin qiymətini tapın. log√ba

1 · Əsas fikir

Nəyə əsaslanırıq?

Yadda saxla

Hasilin, qismətin və qüvvətin loqarifmi düsturları ilə hər tənlik A = lg a, B = lg b məchullarına görə xətti olur. Sonra yeni əsasa keçid: logca = lg a : lg c.

2 · Həll

Addım-addım həll

HəllTəyin oblastından cavaba qədər

Şərt: a > 0, b > 0 (sonda √b ≠ 1 olduğunu da yoxlayacağıq).
lg(a2 : b) = 2lg a − lg b. Sistem: A + B = 5, 2A − B = 4.
Tənlikləri toplayaq: 3A = 9 ⇒ A = 3, B = 2 (a = 1000, b = 100, √b = 10 ≠ 1).
log√ba = lg a : lg √b = A : (B : 2) = 3 : 1 = 3. log√ba = 3

3 · Yoxlama

Cavabı ilkin sistemdə yoxlayaq

a = 1000, b = 100: lg 1000 + lg 100 = 3 + 2 = 5 ✓; lg(106 : 100) = lg 104 = 4 ✓; log101000 = 3 ✓.

4 · Diqqət

Tipik səhvlər

Səhv

log√ba = logba = 1,5

Kök əsas loqarifmi dəyişir: lg √b = ½ lg b, ona görə nəticə 2 dəfə böyük olur.

Düzgün

log√ba = 2 · logba = 3

lg √b = ½ lg b olduğuna görə məxrəc iki dəfə kiçilir, nəticə isə iki dəfə böyüyür.

Digər variantlar niyə səhvdir?

0,75lg b-nin yarısı əvəzinə ikiqatı götürülüb: 3 : 4.
1,5Bu logba-dır; əsasdakı kök nəzərə alınmayıb.
6lg a və lg b vurulub: 3 · 2.
2/3Kəsr tərsinə yazılıb: lg b : lg a.

Mənbə: DİM, «Riyaziyyat. Test toplusu» (2019, 2023, 2025), II hissə, «Üstlü və loqarifmik tənliklər sistemi». Tapşırıqdakı ədədlər bu sual üçün seçilib.