x² − 3|x − 1| − 1 = 0 tənliyinin köklərinin cəmi

1 · Əsas fikir

Modullu tənliklər

Əsas fikir

Dərslikdən. «Ədədin mütləq qiymətinin tərifinə görə |x| = x, əgər x ≥ 0; |x| = −x, əgər x < 0 olduğundan modul işarəsi daxilində dəyişəni olan tənlikləri həll edərkən iki hal nəzərdən keçirilir. 1-ci hal. Modul işarəsi daxilindəki ifadə müsbətdir və ya sıfıra bərabərdir. 2-ci hal. Modul işarəsi daxilindəki ifadə mənfidir.»

Dərslikdən (|2x − 4| = 1 − 3x nümunəsi): modulu tərifə görə açırıq və hər halı öz şərti ilə sistem kimi yazırıq. Halda tapılan qiymət o halın şərtini ödəmirsə, «bu halda tənliyin kökü yoxdur». Sağ tərəfdə dəyişən varsa, mütləq qiymət mənfi ola bilmədiyi üçün sağ tərəf də mənfi olmamalıdır.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

Tapşırıqx² − 3|x − 1| − 1 = 0 tənliyinin köklərinin cəmi

x² − 3|x − 1| − 1 = 0 tənliyinin köklərinin cəmini tapın. Hər halda tapılan qiymətlərin həmin halın şərtini ödəyib-ödəmədiyini əsaslandırın.

1. Tərifə görə |x − 1| = x − 1, əgər x ≥ 1; |x − 1| = 1 − x, əgər x < 1.
2. I hal, x ≥ 1: x² − 3(x − 1) − 1 = 0 ⇒ x² − 3x + 2 = 0 ⇒ (x − 1)(x − 2) = 0 ⇒ x = 1 və ya x = 2; hər ikisi x ≥ 1 şərtini ödəyir.
3. II hal, x < 1: x² − 3(1 − x) − 1 = 0 ⇒ x² + 3x − 4 = 0 ⇒ (x + 4)(x − 1) = 0 ⇒ x = −4 (şərt ödənir) və ya x = 1 (1 < 1 deyil — bu halda atılır).
4. Tənliyin kökləri: −4, 1, 2. Cəmi: −4 + 1 + 2 = −1.
5. Cavab: −1

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

Yoxlama: x = −4: 16 − 3 · 5 − 1 = 0 ✓; x = 1: 1 − 3 · 0 − 1 = 0 ✓; x = 2: 4 − 3 · 1 − 1 = 0 ✓.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• 0İkinci halda alınan x = 1 də kök kimi sayılıb (−4 + 1 + 1 + 2 = 0). x = 1 üçün x < 1 şərti ödənmir, həm də bu kök artıq birinci halda var — bir kök iki dəfə sayılmır.
• 3Yalnız x ≥ 1 halı həll olunub (1 + 2). x < 1 halı daha bir kök verir: x = −4.
• −3Yalnız x < 1 halının hər iki qiyməti toplanıb (−4 + 1), şərt yoxlanmayıb və birinci hal unudulub.
• −2x = 1 birinci halda da atılıb, amma x ≥ 1 şərti x = 1-i daxil edir: 1² − 3 · 0 − 1 = 0. Köklər −4, 1, 2-dir.