İki modulun müqayisəsi: kvadrata yüksəltmə

1 · Əsas fikir

|f| ≥ |g| — kvadrata yüksəltmə

Əsas fikir

Hər iki tərəf mənfi deyilsə, bərabərsizliyin hər tərəfini kvadrata yüksəltmək olar və işarə dəyişmir: |f| ≥ |g| ⇔ f² ≥ g² ⇔ f² − g² ≥ 0 ⇔ (f − g)(f + g) ≥ 0.

İki vuruğun hasili mənfi deyil ⇔ vuruqlar eyni işarəlidir (və ya biri sıfırdır).

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

Tapşırıqİki modulun müqayisəsi: kvadrata yüksəltmə

|x + 2| ≥ |2x − 5|

Bərabərsizliyin bütün tam həllərinin cəmini tapın. Həllinizi əsaslandırın.

1. Hər iki tərəf mənfi deyil, kvadrata yüksəldək: (x + 2)² ≥ (2x − 5)² ⇔ (x + 2)² − (2x − 5)² ≥ 0.
2. Kvadratlar fərqi: f² − g² = (f − g)(f + g). Burada f − g = (x + 2) − (2x − 5) = 7 − x, f + g = (x + 2) + (2x − 5) = 3x − 3. Deməli (7 − x)(3x − 3) ≥ 0, yəni 3(7 − x)(x − 1) ≥ 0.
3. (7 − x)(x − 1) ≥ 0: vuruqlar eyni işarəlidir. Hər ikisi ≥ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 7; hər ikisi ≤ 0 ⇔ x ≥ 7 və x ≤ 1 — mümkün deyil. Həllər [1; 7].
4. Tam həllər 1, 2, …, 7; cəmi 1 + 2 + … + 7 = 28.
5. Cavab: 28

Ədəd oxu: 1-dən 7-yə qədər parça, hər iki uc daxildir, yeddi tam həll kvadrat nişanla

Həllər [1; 7]: tam həllər 1, 2, …, 7, cəmi 28.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

x = 1: |3| = 3 ≥ |−3| = 3 ✓; x = 7: |9| = 9 ≥ |9| = 9 ✓; x = 4: 6 ≥ 3 ✓; x = 0: 2 ≥ 5 doğru deyil ✓; x = 8: 10 ≥ 11 doğru deyil ✓.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• 27x = 1 həll sayılmayıb. 1‑də bərabərlik var: |3| = 3 = |−3|, işarə isə ≥‑dir — 1 həlldir.
• 21x = 7 həll sayılmayıb. 7‑də |9| = 9 = |9|, ≥ işarəsində bu nöqtə həllə daxildir.
• 20Hər iki sərhəd (1 və 7) atılıb, sanki işarə ciddidir: 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20.
• 7Tam həllərin cəmi yox, sayı tapılıb: 1, 2, …, 7 — yeddi ədəd.