Mərkəzi O olan çevrədə AB vətəri və O-dan ona çəkilmiş OH perpendikulyarı (OH = 5 sm); kiçik AB qövsü mavi rənglə seçilib. O mərkəzli çevrədə AB vətəri çəkilib, OH ⊥ AB (H ∈ AB). AB=10sqrt{3} sm,quad OH=5 sm Kiçik AB qövsünün uzunluğunu tapın. Həllinizi əsaslandırın; cavabı π ilə ifadə edin.

Vətər və mərkəzdən məsafəyə görə qövs

Mətn

Mərkəzi O olan çevrədə AB vətəri və O-dan ona çəkilmiş OH perpendikulyarı (OH = 5 sm); kiçik AB qövsü mavi rənglə seçilib.

O mərkəzli çevrədə AB vətəri çəkilib, OH ⊥ AB (H ∈ AB).

AB=10\sqrt{3}\ \text{sm},\quad OH=5\ \text{sm}

Kiçik AB qövsünün uzunluğunu tapın. Həllinizi əsaslandırın; cavabı π ilə ifadə edin.

İzahı göstər

1 · Əsas fikir

Qövs çevrənin hansı hissəsidir?

Əsas fikir

Dərslikdən. «Mərkəzi bucaq tam bucağın (360°-nin) hansı hissəsidirsə, uyğun qövsün uzunluğu da çevrənin uzunluğunun həmin hissəsidir.»

l = m360 / · 2πr

Burada r — radius, m — mərkəzi bucağın dərəcə ölçüsü, 2πr — bütün çevrənin (360°-lik tam qövsün) uzunluğu. Qövsün uzunluğu uzunluq vahidləri ilə (mm, sm, m) ifadə olunur.

Lazım olan köməkçi faktlar (7–8-ci siniflər): bərabəryanlı üçbucağın oturacağa çəkilmiş hündürlüyü həm median, həm tənbölən olur; düzbucaqlı üçbucaqda katet hipotenuzun yarısına bərabərdirsə, onun qarşısındakı bucaq 30°-dir (və ya cos = 1/2 ⇒ 60°).

Qövsün uzunluğu

m°-li mərkəzi bucağa uyğun qövs çevrənin m360 / hissəsidir.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqVətər və mərkəzdən məsafəyə görə qövs

O mərkəzli çevrədə AB vətəri çəkilib, OH ⊥ AB (H ∈ AB).

AB = 10√3 sm, OH = 5 sm.

Kiçik AB qövsünün uzunluğunu tapın. Həllinizi əsaslandırın; cavabı π ilə ifadə edin.

OA = OB = R, yəni OAB üçbucağı bərabəryanlıdır; OH onun hündürlüyüdür, ona görə həm median, həm tənbölən olur: AH = 5√3 sm, ∠AOH = ∠BOH.
OAH düzbucaqlı üçbucağında Pifaqor teoremi: R² = 5² + (5√3)² = 25 + 75 = 100 ⇒ R = 10 sm.
cos∠AOH = OHOA / = 510 / = 12 / ⇒ ∠AOH = 60° (OH katet hipotenuzun yarısıdır, ∠OAH = 30°).
∠AOB = 2 · 60° = 120°.
Kiçik AB qövsü: l = 120360 / · 2π · 10 = 13 / · 20π = 20π3 / sm.
Cavab: 20π/3 sm

Vətər və mərkəzdən məsafə

OH bucağı yarıya bölür: ∠AOH = ∠BOH = 60°, radius 10 sm.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

Yoxlama: 120°-lik mərkəzi bucağa uyğun vətər R√3 = 10√3 sm olur — verilən AB ilə eynidir ✓. Böyük qövs 40π/3 sm; cəmi 20π = 2π · 10 ✓.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

40π/3 smBu, böyük AB qövsünün uzunluğudur (240°). Soruşulan kiçik qövsdür — 120°.
10π/3 sm∠AOH = 60° mərkəzi bucaq kimi götürülüb. OH bucağı yarıya bölür, AOB mərkəzi bucağı isə 2 · 60° = 120°-dir.
5π smAOB bucağı 90° fərz edilib (yoxlanılmadan). Bucaq üçbucaqdan hesablanmalıdır: OH = OA : 2 olduğu üçün ∠AOH = 60°, ∠AOB = 120°.
10π smQövs yarımçevrə (180°) kimi götürülüb. AB diametr deyil: O mərkəzi vətərdən 5 sm aralıdadır.