Uzun vətər mərkəzə daha yaxındır

1 · Əsas fikir

Vətərin uzunluğu və mərkəzdən məsafəsi

Əsas fikir

Mərkəzdən vətərə çəkilmiş perpendikulyar OM vətərin yarısı AM və radius OA ilə düzbucaqlı üçbucaq əmələ gətirir (hipotenuz — radius). Pifaqor teoremi: OA2 = AM2 + OM2, yəni R2 = (l : 2)2 + d2, burada l — vətərin uzunluğu, d — onun mərkəzdən məsafəsi.

Bir çevrədə d2 = R2 − (l : 2)2. Radius eynidir, ona görə vətər uzandıqca (l : 2)2 böyüyür, d2 isə kiçilir: uzun vətər mərkəzə daha yaxındır, qısa vətər daha uzaqdır (dərslik, tapşırıq 15‑in sualı). Bərabər vətərlər isə eyni məsafədədir (Teorem 3).

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqUzun vətər mərkəzə daha yaxındır

Çevrədə uzunluqları AB = 10 sm, CD = 14 sm və EF = 12 sm olan üç vətər çəkilmişdir. Çevrənin mərkəzindən bu vətərlərə qədər məsafələr uyğun olaraq d₁, d₂ və d₃-dür. Hansı bərabərsizlik doğrudur?

1. Hər vətər üçün d2 = R2 − (l : 2)2 (radius hamısı üçün eynidir).
2. d₁2 = R2 − 25, d₂2 = R2 − 49, d₃2 = R2 − 36.
3. Eyni ədəddən daha böyük ədəd çıxdıqda nəticə kiçik olur: 49 > 36 > 25, ona görə d₂2 < d₃2 < d₁2.
4. Məsafələr mənfi deyil, ona görə d₂ < d₃ < d₁: ən uzun vətər CD mərkəzə ən yaxındır.
5. Cavab: d₂ < d₃ < d₁

Üç vətər və onların mərkəzdən məsafələri

Radiusu 10 olan çevrədə: ən uzun vətər (CD = 14) mərkəzə ən yaxın, ən qısa vətər (AB = 10) ən uzaqdır.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

Məsələn, R = 10 olsa: d₁ = √75 ≈ 8,66; d₂ = √51 ≈ 7,14; d₃ = √64 = 8 — sıra d₂ < d₃ < d₁ ✓. Cavab radiusun qiymətindən asılı deyil.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• d₁ < d₃ < d₂Sıra tərsinə çevrilib: «qısa vətər mərkəzə yaxındır» fikri səhvdir. Ən qısa vətər AB mərkəzdən ən uzaqdadır.
• d₁ = d₂ = d₃Mərkəzdən bərabər məsafədə yalnız bərabər vətərlər olur (Teorem 3). Bu vətərlərin uzunluqları fərqlidir.
• d₃ < d₁ < d₂Ən uzun vətər CD-dir (14 sm), ona görə ən kiçik məsafə d₂ olmalıdır, d₃ yox.
• d₂ < d₁ < d₃d₂ ən kiçikdir — bu doğrudur, amma AB (10 sm) EF-dən (12 sm) qısadır, ona görə d₁ > d₃ olmalıdır.