Radiusu 10 sm olan O mərkəzli çevrənin daxilində P nöqtəsi götürülüb, OP = 6 sm. P nöqtəsindən keçən vətərlərin uzunluğu (sm-lə) neçə müxtəlif tam qiymət ala bilər? Cavabınızı əsaslandırın: ən qısa və ən uzun vətəri göstərin.
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Ən qısa və ən uzun vətər
Əsas fikir
Mərkəzdən vətərə çəkilmiş perpendikulyar OM vətərin yarısı AM və radius OA ilə düzbucaqlı üçbucaq əmələ gətirir (hipotenuz — radius). Pifaqor teoremi: OA2 = AM2 + OM2, yəni R2 = (l : 2)2 + d2, burada l — vətərin uzunluğu, d — onun mərkəzdən məsafəsi.
P nöqtəsindən keçən vətərin mərkəzdən məsafəsi OH (H — perpendikulyarın oturacağı) OP-dən böyük ola bilməz: OH perpendikulyar, OP maili parçadır (7‑ci sinif). d = OH nə qədər böyükdürsə, vətər bir o qədər qısadır. Ən böyük d = OP vətər OP-yə perpendikulyar olanda, ən kiçik d = 0 vətər mərkəzdən keçəndə (diametr) alınır.
2 · Addım-addım həll
Həll yolu
TapşırıqNöqtədən keçən vətərlərin tam uzunluqları
Radiusu 10 sm olan O mərkəzli çevrənin daxilində P nöqtəsi götürülüb, OP = 6 sm. P nöqtəsindən keçən vətərlərin uzunluğu (sm-lə) neçə müxtəlif tam qiymət ala bilər? Cavabınızı əsaslandırın: ən qısa və ən uzun vətəri göstərin.
- P-dən keçən hər vətər üçün mərkəzdən məsafə 0 ≤ d ≤ OP = 6 sm.
- Ən uzun vətər — P-dən keçən diametr (d = 0): 20 sm. Ən qısası — OP-yə perpendikulyar vətər (d = 6): 2√102 − 62 = 2 · 8 = 16 sm.
- Vətər P ətrafında dönəndə d 6-dan 0‑a qədər fasiləsiz dəyişir, ona görə uzunluq 16‑dan 20‑yə qədər bütün qiymətləri alır.
- Tam qiymətlər: 16, 17, 18, 19, 20 — cəmi 5.
- Cavab: 5
P nöqtəsindən keçən vətərlər
Ən qısa vətər OP-yə perpendikulyardır (2 · 8 = 16), ən uzunu diametrdir (20); hər digər vətər üçün 0 ≤ OH ≤ 6.
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayaq
Məsələn, 18 sm-lik vətər üçün d2 = 100 − 81 = 19, d = √19 ≈ 4,36 ≤ 6 ✓ — belə vətər var. 21 sm-lik vətər ola bilməz (diametr 20) ✓, 15 sm-lik üçün d = √43,75 ≈ 6,61 > 6 ✗.
4 · Diqqət
Niyə digər variantlar səhvdir
- 3Yalnız ən qısa (16) və ən uzun (20) vətər arasındakı ədədlər (17, 18, 19) sayılıb. 16 və 20 də alınır: ən qısa vətər OP-yə perpendikulyar vətər, ən uzunu diametrdir.
- 4Uclardan biri buraxılıb. 16 sm (OP-yə perpendikulyar vətər) və 20 sm (P-dən keçən diametr) hər ikisi mümkündür: 16, 17, 18, 19, 20.
- 8Uzunluqlar yox, vətərlər sayılıb: 17, 18 və 19 sm-lik vətərlərdən ikisi var (OP-yə nəzərən simmetrik), 16 və 20 sm-lik birdir — 8 vətər, amma 5 müxtəlif uzunluq.
- 2Yalnız ən qısa və ən uzun vətər sayılıb. Vətər P ətrafında dönəndə onun uzunluğu 16‑dan 20‑yə qədər fasiləsiz dəyişir və aradakı tam qiymətləri də alır.