Oxşar üçbucaqlar və vətər parçaları

1 · Əsas fikir

Teorem 1 oxşar üçbucaqlardan çıxır

Əsas fikir

Teorem 1. «Çevrənin iki vətəri kəsişirsə, kəsişmə nöqtəsinin birinci vətərdən ayırdığı parçaların hasili, ikinci vətərdən ayırdığı parçaların hasilinə bərabərdir: AM · MB = CM · MD».

Teorem 1-in isbatı: AD və CB parçalarını çəksək, ∠A ≅ ∠C (eyni BD qövsünə söykənən daxilə çəkilmiş bucaqlar) və ∠AMD ≅ ∠CMB (qarşılıqlı bucaqlar). Deməli, ΔAMD ~ ΔCMB və uyğun tərəflər mütənasibdir: AM/CM = MD/MB = AD/CB.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqOxşar üçbucaqlar və vətər parçaları

Kəsişən vətərlər və iki üçbucaq

Şəkildə çevrənin AB və CD vətərləri M nöqtəsində kəsişir, AD və BC parçaları çəkilmişdir. AM = 4, MD = 6, AD = 8, BC = 12 olarsa, AB vətərinin uzunluğunu tapın. Hansı üçbucaqların oxşar olduğunu və niyə oxşar olduğunu göstərərək həllinizi əsaslandırın.

1. ∠DAB və ∠DCB eyni BD qövsünə söykənən daxilə çəkilmiş bucaqlardır, ona görə ∠MAD = ∠MCB.
2. ∠AMD = ∠CMB, çünki bunlar qarşılıqlı bucaqlardır. İki bucağa görə ΔAMD ~ ΔCMB (A ↔ C, M ↔ M, D ↔ B).
3. Oxşarlıq əmsalı: AD : CB = 8 : 12 = 2 : 3. Uyğun tərəflər: AM : CM = 2 : 3 və MD : MB = 2 : 3.
4. Buradan CM = 4 · 3 : 2 = 6 və MB = 6 · 3 : 2 = 9.
5. AB = AM + MB = 4 + 9 = 13.
6. Cavab: AB = 13

Kəsişən vətərlər və iki üçbucaq

Göy ΔAMD və narıncı ΔCMB oxşardır (əmsal 2 : 3): CM = 6, MB = 9, AB = 4 + 9 = 13.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

Teorem 1 ilə yoxlayaq: AM · MB = 4 · 9 = 36, CM · MD = 6 · 6 = 36 ✓. Oxşarlıq əmsalı da uyğundur: 4 : 6 = 6 : 9 = 8 : 12.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• 9Bu, yalnız MB parçasıdır. AB vətəri iki hissədən ibarətdir: AB = AM + MB = 4 + 9 = 13.
• 8Uyğunluq tərsinə götürülüb: MB = MD · AD : BC = 4. Oxşarlıqda A ↔ C, D ↔ B uyğundur, ona görə MD : MB = AD : CB = 8 : 12 və MB = 9.
• 10Tərəflər səhv cütlənib: AM : MB = AD : BC götürülüb (MB = 6). AM və MB eyni üçbucağın tərəfləri deyil; AM CM-ə, MD isə MB-yə uyğundur.
• 12Bu, digər vətərdir: CD = CM + MD = 6 + 6 = 12. Sual AB vətərini soruşur.