Toxunan və mərkəzdən keçən kəsən

1 · Əsas fikir

Toxunan, kəsən və diametr

Əsas fikir

Çevrə xaricindəki M nöqtəsindən MT toxunanı və çevrəni A, B nöqtələrində kəsən kəsən çəkilibsə: «MT — toxunan parça, MB — kəsən parça, MA — kəsənin xarici hissəsi».

Teorem 3. «Nöqtədən çevrəyə toxunan və kəsən çəkilibsə, toxunan parçanın kvadratı kəsən parçanın öz xarici hissəsinə hasilinə bərabərdir: MT² = MA · MB».

Kəsən çevrənin mərkəzindən keçirsə, onun çevrə daxilindəki hissəsi diametrdir: PB = PA + 2R.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqToxunan və mərkəzdən keçən kəsən

Toxunan və mərkəzdən keçən kəsən

Şəkildə O — çevrənin mərkəzidir. Çevrə xaricindəki P nöqtəsindən PT toxunanı və O mərkəzindən keçən kəsən çəkilmişdir; kəsən çevrəni A və B nöqtələrində kəsir (A nöqtəsi P-yə yaxındır). PT = 20, PA = 10 olarsa, çevrənin radiusunu tapın.

1. Teorem 3: PT² = PA · PB, yəni 20² = 10 · PB, 400 = 10 · PB, PB = 40.
2. Kəsən O-dan keçir, ona görə AB diametrdir: AB = PB − PA = 40 − 10 = 30.
3. Radius: R = 30 : 2 = 15.
4. Cavab: R = 15

Toxunan və mərkəzdən keçən kəsən

PT² = 400 = 10 · 40: AB diametri 30, qırmızı OB radiusu 15.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

PB = 10 + 2 · 15 = 40, PA · PB = 10 · 40 = 400 = 20² ✓. Pifaqor ilə də: PO = 25, PT² + R² = 400 + 225 = 625 = 25² ✓.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• 30Bu, AB diametridir (40 − 10). Radius onun yarısıdır: 30 : 2 = 15.
• 40Bu, PB kəsən parçasıdır: 20² : 10 = 40. Radius üçün xarici hissəni çıxıb ikiyə bölmək lazımdır: (40 − 10) : 2 = 15.
• 10√3Pifaqor teoremi PT və PA-ya tətbiq edilib: √(20² − 10²) = √300. PTA üçbucağı düzbucaqlı deyil; düz bucaq OT radiusu ilə toxunan arasındadır.
• 25Bu, P-dən mərkəzə qədər məsafədir: PO = PA + R = 10 + 15 = 25. Sual radiusu soruşur.