Tənliyə görə çevrənin mərkəzi və radiusu

1 · Əsas fikir

Çevrənin tənliyi

Əsas fikir

Dərslikdən. Mərkəzi M(a; b) nöqtəsində olan r radiuslu çevrənin üzərindəki istənilən N(x; y) nöqtəsi üçün iki nöqtə arasındakı məsafə düsturuna görə √((x − a)² + (y − b)²) = r. Hər iki tərəfi kvadrata yüksəltməklə çevrənin tənliyi alınır:

(x − a)² + (y − b)² = r²

Mərkəz koordinat başlanğıcında olduqda tənlik x² + y² = r² şəklindədir. Çevrə üzərindəki istənilən nöqtənin koordinatları bu tənliyi ödəyir və tərsinə, koordinatları tənliyi ödəyən nöqtə çevrənin üzərindədir.

Tənlikdən oxuyarkən mötərizədəki işarəyə diqqət edək: (x + 3)² = (x − (−3))², deməli a = −3. Sağ tərəfdəki ədəd r²-dir; radius onun müsbət kvadrat köküdür.

Çevrənin tənliyi

Mərkəzi M(a; b), radiusu r olan çevrə: MN² = (x − a)² + (y − b)² = r².

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqTənliyə görə çevrənin mərkəzi və radiusu

(x + 3)² + (y − 4)² = 20 tənliyi ilə verilmiş çevrənin mərkəzi və radiusu hansıdır?

1. Tənliyi (x − a)² + (y − b)² = r² şəkli ilə müqayisə edirik: (x + 3)² = (x − (−3))², (y − 4)² isə olduğu kimi qalır.
2. Deməli, a = −3, b = 4 — mərkəz M(−3; 4).
3. r² = 20, buradan r = √20 = √(4 · 5) = 2√5.
4. Cavab: M(−3; 4), r = 2√5

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

Yoxlama: (−1; 0) nöqtəsi üçün (−1 + 3)² + (0 − 4)² = 4 + 16 = 20 — bu nöqtə çevrənin üzərindədir və mərkəzdən √(2² + 4²) = √20 = 2√5 məsafədədir ✓.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• M(3; −4), r = 2√5Mərkəzin koordinatlarının işarələri səhvdir. Tənlikdə (x − a)² yazılır: (x + 3)² = (x − (−3))², ona görə a = −3; (y − 4)² ⇒ b = 4.
• M(−3; 4), r = 20Sağ tərəfdəki 20 radius deyil, radiusun kvadratıdır: r² = 20, r = √20 = 2√5.
• M(−3; 4), r = 1020 iki dəfə azaldılıb, kvadrat kök alınmayıb: 10² = 100 ≠ 20. Radius √20 = 2√5 ≈ 4,47-dir.
• M(−3; 4), r = 4√5Kökaltından vuruq səhv çıxarılıb: √20 = √(4 · 5) = 2√5, çünki √4 = 2. (4√5)² = 80 ≠ 20.