Diametrinin uclarına görə çevrənin tənliyi

1 · Əsas fikir

Çevrənin tənliyi

Əsas fikir

Dərslikdən. Mərkəzi M(a; b) nöqtəsində olan r radiuslu çevrənin üzərindəki istənilən N(x; y) nöqtəsi üçün iki nöqtə arasındakı məsafə düsturuna görə √((x − a)² + (y − b)²) = r. Hər iki tərəfi kvadrata yüksəltməklə çevrənin tənliyi alınır:

(x − a)² + (y − b)² = r²

Mərkəz koordinat başlanğıcında olduqda tənlik x² + y² = r² şəklindədir. Çevrə üzərindəki istənilən nöqtənin koordinatları bu tənliyi ödəyir və tərsinə, koordinatları tənliyi ödəyən nöqtə çevrənin üzərindədir.

Çevrənin mərkəzi istənilən diametrin orta nöqtəsidir, radius isə diametrin yarısıdır. Uc nöqtələri (x₁; y₁) və (x₂; y₂) olan parçanın orta nöqtəsinin koordinatları x₁ + x₂2 / və y₁ + y₂2 / -dir.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqDiametrinin uclarına görə çevrənin tənliyi

A(−4; 1) və B(2; 9) nöqtələri çevrənin diametrinin uc nöqtələridir. Bu çevrənin tənliyini (x − a)² + (y − b)² = r² şəklində yazın. Cavabınızı əsaslandırın.

1. Mərkəz AB diametrinin orta nöqtəsidir: a = −4 + 22 / = −1, b = 1 + 92 / = 5; M(−1; 5).
2. Radius MA-dır: r² = (−4 − (−1))² + (1 − 5)² = 9 + 16 = 25 (və ya AB² = 6² + 8² = 100, AB = 10, r = 5).
3. Tənlik: (x + 1)² + (y − 5)² = 25.
4. Cavab: (x + 1)² + (y − 5)² = 25

Diametri AB olan çevrə

Mərkəz M(−1; 5) AB diametrinin orta nöqtəsidir, radius 5-dir.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

Yoxlama: B(2; 9) üçün (2 + 1)² + (9 − 5)² = 9 + 16 = 25 ✓, A(−4; 1) üçün (−3)² + (−4)² = 25 ✓ — diametrin hər iki ucu çevrənin üzərindədir.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• (x + 1)² + (y − 5)² = 100Diametr radius sanılıb: AB = 10 diametrdir, r = 5, r² = 25; 100 = AB².
• (x − 1)² + (y + 5)² = 25Mərkəz M(−1; 5) tənliyə səhv işarə ilə yazılıb: x + 1 və y − 5 olmalıdır.
• (x − 3)² + (y − 4)² = 25Mərkəz koordinatların cəminin deyil, fərqinin yarısı ilə tapılıb: (2 − (−4)) : 2 = 3, (9 − 1) : 2 = 4. Orta nöqtə (−4 + 22 / ; 1 + 92 / ) = (−1; 5)-dir.
• (x + 1)² + (y − 5)² = 5Sağ tərəfə radiusun özü yazılıb; tənlikdə r² = 25 olmalıdır.