Hansı nöqtə çevrənin daxilindədir

1 · Əsas fikir

Dairə və çevrənin tənliyi

Əsas fikir

Dərslikdən. Mərkəzi M(a; b) nöqtəsində olan r radiuslu çevrənin üzərindəki istənilən N(x; y) nöqtəsi üçün iki nöqtə arasındakı məsafə düsturuna görə √((x − a)² + (y − b)²) = r. Hər iki tərəfi kvadrata yüksəltməklə çevrənin tənliyi alınır:

(x − a)² + (y − b)² = r²

Mərkəz koordinat başlanğıcında olduqda tənlik x² + y² = r² şəklindədir. Çevrə üzərindəki istənilən nöqtənin koordinatları bu tənliyi ödəyir və tərsinə, koordinatları tənliyi ödəyən nöqtə çevrənin üzərindədir.

Dərslikdən. Çevrə müstəvinin nöqtələrini iki çoxluğa ayırır: dairənin nöqtələri üçün (x − a)² + (y − b)² ≤ r², dairənin xaricindəki nöqtələr üçün isə (x − a)² + (y − b)² > r². Bərabərlik olduqda nöqtə çevrənin üzərində, «<» olduqda çevrənin daxilindədir.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqHansı nöqtə çevrənin daxilindədir

Nöqtələrdən hansı (x − 2)² + (y + 1)² = 25 çevrəsinin daxilində yerləşir?

1. Hər nöqtə üçün (x − 2)² + (y + 1)² ifadəsini hesablayıb r² = 25 ilə müqayisə edirik.
2. (5; 2): (5 − 2)² + (2 + 1)² = 9 + 9 = 18 < 25 — nöqtə çevrənin daxilindədir.
3. (−3; −1): 25 + 0 = 25 — çevrənin üzərindədir; (−4; 2): 36 + 9 = 45 > 25 — xaricdədir.
4. (8; 6): 36 + 49 = 85 > 25; (6; −5): 16 + 16 = 32 > 25 — hər ikisi xaricdədir.
5. Cavab: (5; 2)

Nöqtələrin çevrəyə nəzərən vəziyyəti

Yalnız (5; 2) dairənin içindədir; (−3; −1) çevrənin üzərindədir, qalan üç nöqtə xaricdədir.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

Yoxlama: (5; 2) nöqtəsindən mərkəzə qədər məsafə √18 ≈ 4,24 < 5 = r ✓. Fiqurda yalnız bu nöqtə dairənin içindədir.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• (−3; −1)(−3 − 2)² + (−1 + 1)² = 25 + 0 = 25 = r² — nöqtə çevrənin üzərindədir, daxilində deyil.
• (−4; 2)Mərkəz (−2; 1) götürülüb (işarələr səhv oxunub); onda (−4 + 2)² + (2 − 1)² = 5 < 25 alınardı. Mərkəz (2; −1)-dir: (−4 − 2)² + (2 + 1)² = 36 + 9 = 45 > 25 — nöqtə xaricdədir.
• (8; 6)Fərqlər kvadrata yüksəldilməyib: 6 + 7 = 13 < 25 kimi müqayisə edilib. Əslində 6² + 7² = 36 + 49 = 85 > 25 — nöqtə xaricdədir.
• (6; −5)Hər koordinat fərqi ayrıca radiusla müqayisə edilib: |6 − 2| = 4 < 5 və |−5 + 1| = 4 < 5. Lakin 4² + 4² = 32 > 25 — nöqtə mərkəzdən √32 ≈ 5,66 məsafədədir, xaricdədir.