Hər iki koordinat oxuna toxunan çevrələr

1 · Əsas fikir

Çevrənin tənliyi

Əsas fikir

Dərslikdən. Mərkəzi M(a; b) nöqtəsində olan r radiuslu çevrənin üzərindəki istənilən N(x; y) nöqtəsi üçün iki nöqtə arasındakı məsafə düsturuna görə √((x − a)² + (y − b)²) = r. Hər iki tərəfi kvadrata yüksəltməklə çevrənin tənliyi alınır:

(x − a)² + (y − b)² = r²

Mərkəz koordinat başlanğıcında olduqda tənlik x² + y² = r² şəklindədir. Çevrə üzərindəki istənilən nöqtənin koordinatları bu tənliyi ödəyir və tərsinə, koordinatları tənliyi ödəyən nöqtə çevrənin üzərindədir.

Toxunma nöqtəsinə çəkilmiş radius toxunana perpendikulyardır. Ona görə çevrə absis oxuna toxunursa, mərkəzdən absis oxuna qədər məsafə radiusa bərabərdir: r = |b|; ordinat oxuna toxunursa, r = |a|.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqHər iki koordinat oxuna toxunan çevrələr

Hər iki koordinat oxuna toxunan və A(9; 2) nöqtəsindən keçən çevrələrin radiuslarının cəmini tapın. Həllinizi əsaslandırın.

1. Hər iki oxa toxunan çevrənin mərkəzi hər iki oxdan radius qədər uzaqdadır: |a| = |b| = r. Belə çevrə bütövlükdə mərkəzinin yerləşdiyi rübdədir; A(9; 2) I rübdə olduğuna görə mərkəz də I rübdədir: M(r; r).
2. Tənlik (x − r)² + (y − r)² = r²; A nöqtəsini yerinə yazırıq: (9 − r)² + (2 − r)² = r².
3. 81 − 18r + r² + 4 − 4r + r² = r², buradan r² − 22r + 85 = 0.
4. Diskriminant 22² − 4 · 85 = 144, kökləri r₁ = 5, r₂ = 17. Hər ikisi müsbətdir — şərti iki çevrə ödəyir. Radiusların cəmi 5 + 17 = 22.
5. Cavab: 22

Hər iki oxa toxunan iki çevrə

A(9; 2) nöqtəsindən keçən və hər iki oxa toxunan iki çevrə: r = 5 və r = 17.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

Yoxlama: (9 − 5)² + (2 − 5)² = 16 + 9 = 25 = 5² ✓; (9 − 17)² + (2 − 17)² = 64 + 225 = 289 = 17² ✓.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• 17Yalnız bir çevrə götürülüb. r² − 22r + 85 = 0 tənliyinin iki müsbət kökü var — şərti iki çevrə ödəyir: r = 5 və r = 17.
• 5Yalnız kiçik çevrə götürülüb; r = 17 olan çevrə də hər iki oxa toxunur və A nöqtəsindən keçir: (9 − 17)² + (2 − 17)² = 64 + 225 = 289 = 17².
• 12Radiusların fərqi hesablanıb: 17 − 5 = 12; sual cəmi istəyir.
• 85Köklərin hasili götürülüb (Viyet teoremi: r₁ · r₂ = 85); radiusların cəmi r₁ + r₂ = 22-dir.