Mərkəzi O nöqtəsində olan çevrənin radiusu r-dir, A nöqtəsi çevrə üzərində, P nöqtəsi isə çevrədən kənardadır. Verilən ölçülərin hansında PA düz xətti çevrəyə toxunandır?
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Toxunan olmaq — radiusla düz bucaq yaratmaq
Əsas fikir
Teorem 1. Dərslik: «Çevrəyə toxunan düz xətt (parça) toxunma nöqtəsinə çəkilmiş radiusa perpendikulyardır.»
Tərs teorem (toxunanın əlaməti). Dərslik: «Çevrənin nöqtəsindən keçən və bu nöqtəyə çəkilmiş radiusa perpendikulyar olan düz xətt çevrəyə toxunandır.»
8‑ci sinifdən, Pifaqor teoreminə tərs teorem: üçbucağın tərəfləri üçün a² + b² = c² olarsa, c tərəfinin qarşısındakı bucaq düz bucaqdır.
2 · Addım-addım həll
Həll yolu
TapşırıqToxunanın əlaməti
Mərkəzi O nöqtəsində olan çevrənin radiusu r-dir, A nöqtəsi çevrə üzərində, P nöqtəsi isə çevrədən kənardadır. Verilən ölçülərin hansında PA düz xətti çevrəyə toxunandır?
Variantlar: – r = 8 sm, PA = 15 sm, OP = 18 sm – r = 7 sm, PA = 24 sm, OP = 26 sm – r = 5 sm, PA = 12 sm, OP = 14 sm – r = 9 sm, PA = 40 sm, OP = 41 sm – r = 9 sm, PA = 12 sm, OP = 16 sm
- Teorem 1 və onun tərsinə görə PA düz xətti çevrəyə yalnız o halda toxunandır ki, A nöqtəsində OA radiusuna perpendikulyar olsun, yəni ∠OAP = 90°.
- OAP üçbucağında OA = r. Pifaqor teoreminə tərs teoremə görə r² + PA² = OP² olarsa, ∠OAP = 90°‑dir; bərabərlik ödənmirsə, bucaq düz deyil (düz olsaydı, Pifaqor teoremi bərabərliyi verərdi).
- Variantları yoxlayaq: 9² + 40² = 81 + 1600 = 1681 = 41² ✓; 8² + 15² = 289 ≠ 324; 7² + 24² = 625 ≠ 676; 5² + 12² = 169 ≠ 196; 9² + 12² = 225 ≠ 256.
- Bərabərlik yalnız birinci halda ödənir: r = 9 sm, PA = 40 sm, OP = 41 sm olduqda PA toxunandır.
- Cavab: r = 9 sm, PA = 40 sm, OP = 41 sm
r = 9, PA = 40, OP = 41: OAP üçbucağında 9² + 40² = 41², PA radiusa perpendikulyardır
9² + 40² = 41²: ∠OAP = 90°, PA radiusa perpendikulyardır və çevrəyə toxunur.
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayaq
Digər hallarda PA toxunan olsaydı, OP uyğun olaraq 17, 25, 13 və 15 sm olmalı idi; verilən OP isə hər dəfə bundan 1 sm böyükdür ✓.
4 · Diqqət
Niyə digər variantlar səhvdir
- r = 8 sm, PA = 15 sm, OP = 18 sm8² + 15² = 289 = 17², amma OP² = 324. OAP bucağı düz deyil, PA radiusa perpendikulyar deyil — toxunan olsaydı OP = 17 sm olardı.
- r = 7 sm, PA = 24 sm, OP = 26 sm7² + 24² = 625 = 25², amma OP² = 676. Toxunan olsaydı OP = 25 sm olardı.
- r = 5 sm, PA = 12 sm, OP = 14 sm5² + 12² = 169 = 13², amma OP² = 196. Toxunan olsaydı OP = 13 sm olardı.
- r = 9 sm, PA = 12 sm, OP = 16 sm9² + 12² = 225 = 15², amma OP² = 256. Toxunan olsaydı OP = 15 sm olardı.