Toxunma nöqtələrini birləşdirən vətər

1 · Əsas fikir

Toxunanlar, tənbölən və hündürlük

Əsas fikir

Teorem 1. Dərslik: «Çevrəyə toxunan düz xətt (parça) toxunma nöqtəsinə çəkilmiş radiusa perpendikulyardır.»

Teorem 2. Dərslik: «Eyni nöqtədən çevrəyə çəkilmiş iki toxunanın toxunma nöqtələrinə qədər olan parçaları konqruyentdir və çevrənin mərkəzi toxunanların əmələ gətirdiyi bucağın tənböləni üzərində yerləşir.»

Bərabəryanlı üçbucaqda təpədən çəkilmiş tənbölən həm də hündürlük və medianadır.

8‑ci sinifdən: düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuzun kvadratı katetlərin kvadratları cəminə bərabərdir (Pifaqor teoremi).

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqToxunma nöqtələrini birləşdirən vətər

Radiusu 9 sm olan çevrənin mərkəzi O nöqtəsidir. Mərkəzdən 15 sm məsafədə olan P nöqtəsindən çevrəyə PA və PB toxunanları çəkilib (A və B toxunma nöqtələridir, şəkil). AB vətərinin uzunluğunu tapın.

1. Teorem 1: ∠OAP = 90°. Pifaqor teoremi: PA = √(15² − 9²) = √144 = 12 sm.
2. Teorem 2: PA = PB və PO APB bucağının tənbölənidir. Bərabəryanlı APB üçbucağında bu tənbölən həm də hündürlük və medianadır: OP ⊥ AB, kəsişmə nöqtəsi H isə AB-nin ortasıdır.
3. AH düzbucaqlı OAP üçbucağının hipotenuza endirilmiş hündürlüyüdür. Sahəni iki cür yazaq: OA · AP = OP · AH, AH = 9 · 12 : 15 = 7,2 sm.
4. AB = 2 · AH = 2 · 7,2 = 14,4 sm.
5. Cavab: AB = 14,4 sm

P nöqtəsindən çevrəyə çəkilmiş PA və PB toxunanları, AB vətəri

PA = 12 sm, OP ⊥ AB, AH = 9 · 12 : 15 = 7,2 sm, AB = 14,4 sm.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

OH = √(9² − 7,2²) = √29,16 = 5,4 sm, PH = 15 − 5,4 = 9,6 sm; AH² + PH² = 51,84 + 92,16 = 144 = 12² ✓.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• 12 smBu, PA toxunan parçasıdır: √(15² − 9²). AB vətəri isə toxunma nöqtələrini birləşdirir.
• 7,2 smBu, AH-dır — AB-nin yarısı. OP vətəri yarı bölür: AB = 2 · 7,2 sm.
• 9,6 smBu, PH parçasıdır (12² : 15). Vətərin yarısı OAP üçbucağının hündürlüyüdür: AH = 9 · 12 : 15.
• 18 smBu, çevrənin diametridir. AB vətəri mərkəzdən keçmir, diametrdən qısadır.