Uzunluqları bərabər vektorlar: parametr — Sual

$\vec{a}=\langle m+3;\ 4\rangle$ və $\vec{b}=\langle 6;\ m-1\rangle$ vektorlarının uzunluqları bərabərdir. $m$ -i tapın. Həllinizi əsaslandırın.

İzahı göstər

1 · Əsas fikir

Uzunluqların bərabərliyi

Əsas fikir

Dərslik: «AB = ⟨a; b⟩ vektorunun uzunluğu

|AB| = √a² + b²

düsturu ilə hesablanır.» Komponentlər düzbucaqlı üçbucağın katetləri, vektor isə onun hipotenuzu kimidir (Pifaqor teoremi). Mənfi komponentin kvadratı müsbətdir.

Uzunluqlar bərabərdirsə, onların kvadratları da bərabərdir; kvadratlarla işləmək kökləri aradan qaldırır. Uzunluqları bərabər vektorlar bərabər olmaya bilər — istiqamətləri fərqli ola bilər.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqUzunluqları bərabər vektorlar: parametr

a = ⟨m + 3; 4⟩ və b = ⟨6; m − 1⟩ vektorlarının uzunluqları bərabərdir. m-i tapın. Həllinizi əsaslandırın.

Uzunluqlar bərabərdirsə, onların kvadratları da bərabərdir: (m + 3)² + 4² = 6² + (m − 1)².
Mötərizələri açaq: m² + 6m + 9 + 16 = 36 + m² − 2m + 1.
m² hər iki tərəfdən silinir: 6m + 25 = 37 − 2m, 8m = 12, m = 1,5.
Cavab: m = 1,5

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

m = 1,5: a = ⟨4,5; 4⟩, |a|² = 20,25 + 16 = 36,25; b = ⟨6; 0,5⟩, |b|² = 36 + 0,25 = 36,25 — uzunluqlar bərabərdir ✓.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

3İkinci kvadratda işarə səhvi: (m − 1)² = m² + 2m + 1 yazılıb, onda 6m + 25 = 2m + 37 və m = 3 alınır. Yoxlama: m = 3 olduqda |a|² = 52, |b|² = 40 — bərabər deyil.
6Qısa vurma düsturu səhv tətbiq edilib: (m + 3)² = m² + 9 yazılıb (6m həddi unudulub). m = 6 olduqda |a|² = 97, |b|² = 61.
−1,5Son addımda işarə səhvi: 8m = 12 tənliyindən m = 1,5 alınır. m = −1,5 olduqda |a|² = 18,25, |b|² = 42,25.
5Uzunluqların bərabərliyi vektorların bərabərliyi ilə qarışdırılıb: 4 = m − 1 şərtindən m = 5 götürülüb. Uzunluqları bərabər vektorların komponentləri bərabər olmaya bilər; m = 5 olduqda |a|² = 80, |b|² = 52.