Sürüşdürülmüş kub parabola ilə düz xəttin kəsişmə nöqtələri

1 · Əsas fikir

y = x³ funksiyası və kub parabola

Əsas fikir

Parabolada olduğu kimi, y = (x − m)³ + n funksiyasının qrafiki kub parabolanın absis oxu boyunca |m| vahid (m > 0 olduqda sağa, m < 0 olduqda sola) və Oy oxu boyunca |n| vahid (n > 0 olduqda yuxarı, n < 0 olduqda aşağı) sürüşdürülməsidir. Kub parabolanın O nöqtəsi — simmetriya mərkəzi — (m; n) nöqtəsinə keçir.

İki qrafikin ortaq nöqtələrinin absisləri onların düsturlarını bərabərləşdirməklə alınan tənliyin kökləridir; ordinatlar düsturların istənilənindən tapılır.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqSürüşdürülmüş kub parabola ilə düz xəttin kəsişmə nöqtələri

y = (x − 1)³ + 2 və y = 4x − 2 funksiyalarının qrafiklərinin bütün kəsişmə nöqtələrinin ordinatlarının cəmini tapın. Həllinizi əsaslandırın.

1. Kəsişmə nöqtələrinin absisləri (x − 1)³ + 2 = 4x − 2 tənliyini ödəyir.
2. t = x − 1 işarə edək: 4x − 2 = 4(t + 1) − 2 = 4t + 2, tənlik t³ + 2 = 4t + 2, yəni t³ = 4t olur.
3. t³ − 4t = 0 ⇒ t(t² − 4) = 0 ⇒ t = 0, t = 2, t = −2; buradan x = 1, x = 3, x = −1.
4. Ordinatlar (y = 4x − 2): x = 1 ⇒ 2; x = 3 ⇒ 10; x = −1 ⇒ −6.
5. Cəm: 2 + 10 + (−6) = 6.
6. Cavab: 6

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

Yoxlama kub funksiya ilə: (3 − 1)³ + 2 = 10 ✓, (−1 − 1)³ + 2 = −6 ✓, (1 − 1)³ + 2 = 2 ✓. Düz xətt kub parabolanın mərkəzi (1; 2)-dən keçir, ona görə (3; 10) və (−1; −6) nöqtələri bu mərkəzə nəzərən simmetrikdir: onların ordinatlarının cəmi 2 · 2 = 4, üç nöqtəninki 4 + 2 = 6 ✓.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• 4t³ = 4t tənliyi t-yə bölünüb və t = 0 kökü (nöqtə (1; 2)) itib: yalnız 10 + (−6) = 4 alınıb.
• 12t² = 4 tənliyinin mənfi kökü t = −2 unudulub: yalnız (1; 2) və (3; 10) götürülüb, 2 + 10 = 12.
• 3Bu, kəsişmə nöqtələrinin absislərinin cəmidir: −1 + 1 + 3 = 3. Sual ordinatları soruşur.
• 2Yalnız kub parabolanın mərkəzi (1; 2) götürülüb. Düz xətt bu nöqtədən keçir, lakin kub parabolanı daha iki nöqtədə kəsir.