Həm daxilinə, həm də xaricinə çevrə çəkilən dördbucaqlı

1 · Əsas fikir

Nə vaxt çevrə çəkmək olar

Əsas fikir

Tərs teorem. «Dördbucaqlının qarşı tərəflərinin cəmi bərabərdirsə, onun daxilinə çevrə çəkmək olar.»

Tərs teorem. «Dördbucaqlının qarşı bucaqlarının cəmi 180°‑yə bərabərdirsə, onun xaricinə çevrə çəkmək mümkündür.»

Paraleloqramlar (tapşırıq 20 c): paraleloqramın qarşı bucaqları bərabərdir — cəmləri 180° olması üçün hər biri 90° olmalıdır, yəni paraleloqramlardan xaricinə çevrə yalnız düzbucaqlıya çəkilir. Qarşı tərəfləri də bərabərdir — qonşu tərəflər bərabər olmalıdır, yəni daxilinə çevrə yalnız romba çəkilir. Hər ikisi kvadratda mümkündür.

Trapesiya (dərslikdəki tapşırıq 20): çevrə daxilinə çəkilmiş trapesiya bərabəryanlıdır. Çevrə xaricinə çəkilmiş trapesiyada oturacaqların cəmi yan tərəflərin cəminə bərabərdir, ona görə bərabəryanlı trapesiyanın orta xətti yan tərəfə bərabərdir. Çevrə hər iki oturacağa toxunduğu üçün trapesiyanın hündürlüyü çevrənin diametrinə bərabərdir.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqHəm daxilinə, həm də xaricinə çevrə çəkilən dördbucaqlı

Aşağıdakı dördbucaqlılardan hansının həm daxilinə, həm də xaricinə çevrə çəkmək olar?

Variantlar: – Tərəfi 6 sm, iti bucağı 60° olan romb – Oturacaqları 3 sm və 12 sm, yan tərəfləri 7,5 sm olan bərabəryanlı trapesiya – Tərəfləri 5 sm və 8 sm olan düzbucaqlı – Oturacaqları 4 sm və 10 sm, yan tərəfləri 6 sm və 8 sm olan trapesiya – Tərəfləri 4 sm və 7 sm, bir bucağı 70° olan paraleloqram

1. Hər variantda iki şərti ayrıca yoxlayırıq: xaricinə çevrə çəkmək üçün qarşı bucaqların cəmi 180° olmalıdır (Teorem 5‑in tərsi), daxilinə çevrə çəkmək üçün qarşı tərəflərin cəmləri bərabər olmalıdır (Teorem 4‑ün tərsi).
2. Bərabəryanlı trapesiyada oturacağa bitişik bucaqlar bərabərdir (∠B = ∠C), yan tərəfə bitişik iki bucağın cəmi isə 180°‑dir (paralel düz xətlər): ∠A + ∠C = ∠A + ∠B = 180°. Deməli xaricinə çevrə çəkmək olar.
3. Tərəflər: 3 + 12 = 15 sm və 7,5 + 7,5 = 15 sm — qarşı tərəflərin cəmləri bərabərdir, daxilinə də çevrə çəkmək olar.
4. Digər dörd variantın hər birində şərtlərdən biri və ya ikisi pozulur (aşağıda, «Diqqət» bölməsində).
5. Cavab: Oturacaqları 3 sm və 12 sm, yan tərəfləri 7,5 sm olan bərabəryanlı trapesiya

Oturacaqları 3 və 12, yan tərəfləri 7,5 olan bərabəryanlı trapesiya: daxilinə və xaricinə çevrə çəkilib

Bərabəryanlı trapesiya: 3 + 12 = 7,5 + 7,5; daxilinə və xaricinə çevrə çəkilir.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

Bu trapesiya mövcuddur: hündürlüyü √(7,5² − 4,5²) = √36 = 6 sm. Daxilə çəkilmiş çevrənin diametri hündürlüyə bərabərdir, r = 3 sm. Fiqurda hər iki çevrə çəkilib.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• Tərəfi 6 sm, iti bucağı 60° olan rombRombun qarşı tərəflərinin cəmləri bərabərdir (6 + 6 = 6 + 6), ona görə daxilinə çevrə çəkmək olar. Lakin qarşı bucaqları 60° və 60°‑dir, cəmi 120° ≠ 180° — xaricinə çevrə çəkmək olmaz.
• Tərəfləri 5 sm və 8 sm olan düzbucaqlıQarşı bucaqlarının cəmi 90° + 90° = 180°, xaricinə çevrə çəkmək olar. Qarşı tərəflərin cəmləri isə 5 + 5 = 10 sm və 8 + 8 = 16 sm‑dir, bərabər deyil — daxilinə çevrə çəkmək olmaz.
• Oturacaqları 4 sm və 10 sm, yan tərəfləri 6 sm və 8 sm olan trapesiyaQarşı tərəflərin cəmləri bərabərdir: 4 + 10 = 6 + 8 = 14 sm — daxilinə çevrə çəkmək olar. Lakin yan tərəfləri bərabər deyil, çevrə daxilinə çəkilmiş trapesiya isə bərabəryanlı olmalıdır (tapşırıq 20 a) — xaricinə çevrə çəkmək olmaz.
• Tərəfləri 4 sm və 7 sm, bir bucağı 70° olan paraleloqramQarşı bucaqları bərabərdir (70° və 70°, 110° və 110°), cəmləri 180° deyil; qarşı tərəflərin cəmləri 8 sm və 14 sm‑dir. Bu paraleloqramın nə daxilinə, nə də xaricinə çevrə çəkmək olar.