İki mənfi dəyişən və 4-cü dərəcədən kök

1 · Əsas fikir

Hər dəyişən üçün ayrıca: |x| və |y²|

Əsas fikir

Vuruğun kök işarəsi altından çıxarılması. Dərslik: «Vuruğun kök işarəsi altından çıxarılmasında kökün xassələri və n cüt ədəd olduqda n-ci dərəcədən kök altında an = |a|, n tək ədəd olduqda n-ci dərəcədən kök altında an = a düsturları tətbiq edilir.»

Kökaltı ifadəni «n-ci qüvvət · qalan vuruq» hasili kimi yazırıq, hasilin kökü xassəsi ilə hər vuruqdan ayrıca kök alırıq: n-ci qüvvətin kökü kökün qarşısına çıxır, qalan vuruq kök altında qalır.

n-ci dərəcədən kök altında anb = a · n-ci dərəcədən kök altında b n tək olduqda

n-ci dərəcədən kök altında anb = |a| · n-ci dərəcədən kök altında b n cüt olduqda (b ≥ 0)

Dərslikdəki nümunə: 3-cü dərəcədən kök altında 54 = 3-cü dərəcədən kök altında 27 · 2 = 3-cü dərəcədən kök altında 27 · 3-cü dərəcədən kök altında 2 = 3 · 3-cü dərəcədən kök altında 2.

İşarə şərti. Kökün üstü cüt olduqda çıxan vuruq mütləq qiymətlə yazılır: |a| = a (a ≥ 0) və |a| = −a (a < 0). Kökün üstü tək olduqda vuruq öz işarəsi ilə çıxır. Dərslikdəki nümunə: 4-cü dərəcədən kök altında 48a6 = 4-cü dərəcədən kök altında 16 · 3 · a4 · a2 = 2|a| · 4-cü dərəcədən kök altında 3a2; tək üstdə isə 3-cü dərəcədən kök altında a5b6 = ab2 · 3-cü dərəcədən kök altında a2 — mütləq qiymət yoxdur.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

Tapşırıqİki mənfi dəyişən və 4-cü dərəcədən kök

x < 0 və y < 0 olduqda vuruğu kök işarəsi altından çıxarın.

4-cü dərəcədən kök altında 32x5y9

1. Kökaltı ifadənin işarəsi: x5 < 0 və y9 < 0, hasil müsbətdir — ifadə mənalıdır.
2. Vuruqlar: 32 = 24 · 2; x5 = x4 · x; y9 = (y2)4 · y.
3. 4-cü dərəcədən kök altında 32x5y9 = 4-cü dərəcədən kök altında 16x4y8 · 2xy = 2|x|y2 · 4-cü dərəcədən kök altında 2xy — 4-cü dərəcədən kök altında y8 = |y2| = y2, çünki y2 ≥ 0.
4. x < 0 ⇒ |x| = −x: 4-cü dərəcədən kök altında 32x5y9 = −2xy2 · 4-cü dərəcədən kök altında 2xy. Kök altında 2xy > 0 qalır.
5. Cavab: −2xy² · ⁴√(2xy)

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

x = −1, y = −1: sol tərəf 4-cü dərəcədən kök altında 32 = 2 · 4-cü dərəcədən kök altında 2 ≈ 2,378; sağ tərəf −2 · (−1) · 1 · 4-cü dərəcədən kök altında 2 = 2 · 4-cü dərəcədən kök altında 2 ✓. x = −1, y = −2: sol 4-cü dərəcədən kök altında 32 · 512 = 4-cü dərəcədən kök altında 16384 ≈ 11,31; sağ 2 · 4 · 4-cü dərəcədən kök altında 4 ≈ 11,31 ✓.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• 2xy² · ⁴√(2xy)|x| = x götürülüb. x < 0 olduqda |x| = −x; nəticə mənfi çıxır, hesabi kök isə mənfi ola bilməz.
• −2xy² · ⁴√(−2xy)Minus kök altına da yazılıb: x, y < 0 olduqda −2xy < 0, cüt dərəcədən mənfi ədədin kökü yoxdur.
• −4xy² · ⁴√(2xy)16-dan kvadrat kök alınıb (42 = 16). Kökün üstü 4-dür: 16 = 24, 4-cü dərəcədən kök altında 16 = 2.
• −2xy⁴ · ⁴√(2xy)y8-dən kvadrat kök alınıb (y4). 4-cü dərəcədən kök: y8 = (y2)4, 4-cü dərəcədən kök altında y8 = y2.