Düzbucaqlı koordinat sistemi

Mətn (transkript)

Təsəvvür edin: Xəzər sahilində yay düşərgəsi. Səhər tezdəndir, dalğalar qumu yuyur, qağayılar səs-səsə verib. Dəstə rəhbəri uşaqlar üçün oyun hazırlayıb: qumun altında kiçik taxta qutu gizlədib, qutunun içində isə medallar var. Uşaqlara bircə vərəq verir. Vərəqdə cəmi bir neçə söz yazılıb: «Böyük qayadan başlayın. Altı və iki.» İki komanda yola düşür. Turalın komandası qayadan əvvəlcə iki addım sahil boyunca sağa gedir, sonra altı addım dənizdən uzağa, qum təpələrinə doğru. Nərminin komandası isə altı addım sahil boyunca gedir, amma sola, sonra iki addım qum təpələrinə doğru. Hər iki komanda qazmağa başlayır. Qazırlar, qazırlar... və heç nə tapmırlar. Bəs kim səhv edib? Əslində vərəq səhv deyil, sadəcə yarımçıqdır. İki ədəd var, amma qayda yoxdur. Hansı ədəd birinci sayılır? Hansı tərəf müsbətdir, hansı mənfi? Bu gün öyrənəcəyimiz düzbucaqlı koordinat sistemi məhz bu qaydalardır. Dərsin sonunda qutunu birlikdə tapacağıq. Əvvəlcə iki düz xətt çəkək. Böyük qaya bizim başlanğıc nöqtəmizdir. Qayadan sahil boyunca uzanan üfüqi xətt birinci oxdur. Onun adı absis oxudur, qısaca iks oxu. Qayadan sahilə perpendikulyar olaraq, düz qum təpələrinə doğru gedən şaquli xətt isə ikinci oxdur. Onun adı ordinat oxudur, qısaca iqrek oxu. Bu iki ox bir-birini düz bucaq altında kəsir. Sistemin adındakı «düzbucaqlı» sözü də buradan gəlir. Oxların kəsişmə nöqtəsini böyük O hərfi ilə işarə edirlər və ona koordinat başlanğıcı deyirlər. Bizim sahildə koordinat başlanğıcı böyük qayadır. Hər ox əslində tanış ədəd oxudur. Koordinat başlanğıcında sıfır durur, bir vahid isə bizim sahildə bir addımdır. Absis oxunda sağa getdikcə ədədlər müsbətdir: bir, iki, üç. Sola getdikcə isə mənfidir: mənfi bir, mənfi iki, mənfi üç. Ordinat oxunda yuxarı tərəf müsbətdir, aşağı tərəf mənfi. Sahilimizdə yuxarı qum təpələrinə doğrudur, aşağı isə dənizə tərəf. Bu fikrin öz tarixi var. Düzbucaqlı koordinat sistemini on yeddinci əsrdə fransız riyaziyyatçısı Rene Dekart inkişaf etdirib. Dekart müstəvidə bir başlanğıc nöqtə götürdü. Sonra araşdırdı ki, bu nöqtədən üfüqi və şaquli istiqamətlərdə hərəkət edərək istənilən obyektə necə çatmaq olar. Beləcə, müstəvidəki hər nöqtəni koordinat cütü ilə ifadə etdi. Onun şərəfinə bu sistemə Dekart koordinat sistemi də deyilir. Riyaziyyata «dəyişən kəmiyyət» və «funksiya» anlayışlarını da ilk dəfə Dekart gətirib. O, bu anlayışları min altı yüz otuz yeddinci ildə yazdığı «Həndəsə» kitabında verib. İndi nöqtənin ünvanına keçək. Müstəvidə hər nöqtənin yeri iki ədədlə müəyyən olunur. Birinci ədəd nöqtənin absisidir: nöqtənin iks oxu boyunca harada olduğunu deyir. İkinci ədəd nöqtənin ordinatıdır: nöqtənin iqrek oxu boyunca harada olduğunu deyir. Bu iki ədədə birlikdə koordinat cütü deyilir. Yazıda onları mötərizə içində yazırlar: əvvəl absis, sonra nöqtəli vergül, sonra ordinat. Sıra heç vaxt dəyişmir: əvvəl iks, sonra iqrek. Bəs nöqtənin koordinatlarını necə oxuyaq? Dərslikdəki bir nümunəni götürək. A nöqtəsi koordinat başlanğıcından sağda və aşağıda yerləşir. A nöqtəsindən absis oxuna perpendikulyar xətt çəkirik. Bu xətt absis oxunu bir ədədinin yazıldığı yerdə kəsir. Sonra A nöqtəsindən ordinat oxuna perpendikulyar çəkirik. O, ordinat oxunu mənfi dörd ədədinin yazıldığı yerdə kəsir. Deməli, A nöqtəsinin koordinatları belədir: iks bərabərdir bir, iqrek bərabərdir mənfi dörd. Bu iki ədədin yerini dəyişsək, nə olar? İks bərabərdir mənfi dörd, iqrek bərabərdir bir. Bu, tamam başqa nöqtədir: koordinat başlanğıcından dörd vahid solda və bir vahid yuxarıda. Ədədlər eynidir, yer isə başqadır. Turalın komandası da elə bu səhvi etdi: ədədlərin sırasını dəyişdi və qutudan uzaqda qazdı. Koordinat oxları müstəvini dörd hissəyə bölür. Bu hissələrə rüblər deyilir. Rüblər saat əqrəbinin əksi istiqamətində nömrələnir. Birinci rüb sağda və yuxarıdadır. Oradan sola keçirik: ikinci rüb solda və yuxarıdadır. Sonra aşağı enirik: üçüncü rüb solda və aşağıdadır. Nəhayət, sağa qayıdırıq: dördüncü rüb sağda və aşağıdadır. Hər rübün öz işarələri var. Birinci rübdə hər iki koordinat müsbətdir. İkinci rübdə absis mənfi, ordinat müsbətdir. Üçüncü rübdə hər ikisi mənfidir. Dördüncü rübdə isə absis müsbət, ordinat mənfidir. Deməli, nöqtənin hansı rübdə olduğunu bilmək üçün şəkil lazım deyil. Koordinatların işarələrinə baxmaq kifayətdir. Sahilimizə qayıdaq. Nərminin komandasının qazdığı yer: iks bərabərdir mənfi altı, iqrek bərabərdir iki. Absis mənfi, ordinat müsbətdir, deməli, bu yer ikinci rübdədir, qayadan solda. Turalın komandasının yeri isə: iks bərabərdir iki, iqrek bərabərdir altı. Hər ikisi müsbətdir, bu, birinci rübdür. Bəs qutu hansı rübdədir? Bunu sona saxlayaq. Bəs dənizin içindəki nöqtələr? Sahil xətti absis oxudur, dəniz isə ondan aşağıda qalır. Orada ordinat mənfidir. Məsələn, iks bərabərdir dörd, iqrek bərabərdir mənfi bir: qayadan dörd addım sağa və bir addım aşağı. Ayaqlarımız artıq suyun içindədir. Absis müsbət, ordinat mənfi: bu, dördüncü rübdür. Solda, suda üzən bir top isə, deyək ki, iks bərabərdir mənfi beş, iqrek bərabərdir mənfi üç nöqtəsindədir. Hər iki işarə mənfidir: üçüncü rüb. İndi tərsinə edək: koordinatlar verilib, nöqtəni tapmaq lazımdır. Qayda sadədir. Həmişə koordinat başlanğıcından başlayırıq. Əvvəl absisə baxırıq: müsbətdirsə, sağa, mənfidirsə, sola o qədər vahid gedirik. Sonra ordinata baxırıq: müsbətdirsə, yuxarı, mənfidirsə, aşağı gedirik. Dayandığımız yer axtardığımız nöqtədir. Dəstə rəhbərinin çadırı, deyək ki, iks bərabərdir mənfi iki, iqrek bərabərdir beş nöqtəsindədir. Gəlin oraya gedək. Qayadan başladıq. Absis mənfi ikidir, ona görə iki addım sola getdik. Ordinat beşdir, ona görə beş addım yuxarı, qum təpələrinə doğru qalxdıq. Çadır buradadır, ikinci rübdə. Dərslik eyni işi xətlərlə görür. Absis oxunda mənfi ikinin yerindən şaquli xətt, ordinat oxunda beşin yerindən üfüqi xətt çəkilir. Bu iki xəttin kəsişdiyi yer axtarılan nöqtədir. Bir səhvdən də qorunun: ikinci hərəkəti yenidən koordinat başlanğıcından başlamırıq. Sola getdiyimiz yerdən birbaşa yuxarı qalxırıq. Son sual: nöqtə oxun üstündə olsa, nə olar? Tutaq ki, sahil xəttinin üstündə, qayadan yeddi addım sağda bir balıqqulağı tapdıq. Biz nə yuxarı getdik, nə aşağı. Deməli, onun ordinatı sıfırdır: iks bərabərdir yeddi, iqrek bərabərdir sıfır. Absis oxu üzərindəki hər nöqtənin ordinatı sıfıra bərabərdir. İndi cığırla düz yuxarı qalxaq. Qayadan səkkiz addım yuxarıda düşərgənin taxta darvazası var. Darvaza ordinat oxunun üstündədir. Biz sağa da, sola da getmədik. Deməli, onun absisi sıfırdır: iks bərabərdir sıfır, iqrek bərabərdir səkkiz. Ordinat oxu üzərindəki hər nöqtənin absisi sıfıra bərabərdir. Qayanın özü, yəni koordinat başlanğıcı isə hər iki oxun üstündədir: iks bərabərdir sıfır, iqrek bərabərdir sıfır. Bir vacib qeyd: oxların üzərindəki nöqtələr heç bir rübə aid deyil. Oxlar rüblərin sərhədidir. Ən çox edilən səhv isə sıfırı yanlış yerə yazmaqdır. Balıqqulağını iks bərabərdir sıfır, iqrek bərabərdir yeddi kimi yazsaq, o, sahildən çıxıb cığırın üstünə, qum təpələrinə tərəf köçər. Gəlin hamısını bir yerə yığaq. Düzbucaqlı koordinat sistemi iki perpendikulyar oxdan ibarətdir: üfüqi absis oxu və şaquli ordinat oxu. Onlar koordinat başlanğıcında, O nöqtəsində kəsişir. Hər nöqtənin ünvanı onun koordinat cütüdür: əvvəl absis, sonra ordinat. Oxlar müstəvini dörd rübə bölür, koordinatların işarələri isə nöqtənin hansı rübdə olduğunu deyir. Oxun üstündəki nöqtənin isə bir koordinatı sıfırdır. İndi sahilə qayıdaq. Dəstə rəhbəri vərəqə qaydaları əlavə edir. Başlanğıc böyük qayadır. Birinci ədəd absisdir, sahil boyunca sağa sayılır. İkinci ədəd ordinatdır, sahildən yuxarı, qum təpələrinə doğru sayılır. Deməli, qutu iks bərabərdir altı, iqrek bərabərdir iki nöqtəsindədir. Uşaqlar qayadan altı addım sağa gedir, sonra iki addım yuxarı qalxır. Birinci rübdə dayanıb qazmağa başlayırlar. Və qutu tapıldı! İki ədəd tək başına ünvan deyil. Onlara razılaşdırılmış qaydalar lazımdır: başlanğıc, sıra və istiqamət. Dekartın fikri də elə budur: bir başlanğıc və iki perpendikulyar ox seçsən, müstəvidəki hər nöqtənin öz ünvanı olur. Yadda saxlayın: əvvəl iks, sonra iqrek, işarə isə istiqaməti deyir. Növbəti dərsdə bu müstəvidə nöqtələr arasındakı məsafəni öyrənəcəyik.