Trapesiyanın orta xətti: anbarın damında orta ip

Mətn (transkript)

Təsəvvür edin: oktyabrın əvvəli, dağ kəndində sərin bir səhər. Xoruzlar banlayır. Səkkizinci sinifdə oxuyan Elnarə babası Raufla köhnə anbarın qarşısında dayanıb. Payız yağışlarından əvvəl anbarın damına yeni kirəmit düzülməlidir. Damın qabaq üzü böyük, maili bir lövhəyə bənzəyir. Bu lövhənin yuxarı kənarı damın ən hündür yerindən keçir və uzunluğu iyirmi metrdir. Aşağı kənarı, yəni saçaq, otuz səkkiz metrdir. Bu iki kənar bir-birinə paraleldir. Yanlarda isə iki çəp kənar var. Hər biri yuxarıdan aşağıya doğru çəpinə enir. Rauf baba deyir: «Kirəmitləri cərgə-cərgə düz düzmək üçün damın üstündə ip dartacağam. Ən vacibi orta ipdir: sol çəp kənarın düz ortasından sağ çəp kənarın düz ortasına qədər.» Baba hələ yerdə ikən ipi ölçüb kəsir: iyirmi doqquz metr. Elnarə təəccüblənir: «Baba, sən damın ortasını heç ölçməmisən axı!» Baba gülümsəyir: «Ölçməyə ehtiyac yoxdur.» Baba ilə Elnarə dama çıxır. İpin bir ucunu sol çəp kənarın ortasına, o biri ucunu sağ çəp kənarın ortasına bağlayırlar. İp düz çatır: nə artıq qalır, nə də çatışmır. Üstəlik, ip yuxarı kənara da, saçağa da paralel uzanır. Elnarə fikrə gedir: baba damın ortasını ölçmədən bu uzunluğu necə bildi? Dərsin sonunda Elnarə cavabı özü deyəcək. Siz də onunla birlikdə tapacaqsınız. Salam, əziz dinləyici! Bu gün səkkizinci sinif həndəsəsində trapesiyanın orta xəttini öyrənəcəyik. Orta xəttin nə olduğunu, uzunluğunun oturacaqlarla necə bağlı olduğunu və bunun niyə doğru olduğunu başa düşəcəyik. Sonra diaqonalların orta xətti necə böldüyünü görəcək və bir neçə məsələ həll edəcəyik. Yanınıza kağız və qələm götürün. Əvvəlcə trapesiyanı xatırlayaq. Trapesiya elə dördbucaqlıdır ki, yalnız iki tərəfi paraleldir. Paralel tərəflərə oturacaqlar, o biri iki tərəfə isə yan tərəflər deyilir. Gəlin birlikdə çəkək. Kağızın aşağısında uzun üfüqi bir parça çəkin: bu, böyük oturacaqdır. Bu parçanın üstündə, bir az yuxarıda, ona paralel daha qısa bir parça çəkin: bu, kiçik oturacaqdır. İndi sol ucları birləşdirin, sonra sağ ucları. Bu iki çəp parça yan tərəflərdir. Anbarın damı da elə trapesiyadır: yuxarı kənar kiçik oturacaq, saçaq böyük oturacaq, çəp kənarlar isə yan tərəflərdir. İndi hər yan tərəfin düz ortasını işarələyin. Sol yan tərəfin orta nöqtəsini sağ yan tərəfin orta nöqtəsi ilə birləşdirin. Bu parçanın xüsusi adı var: trapesiyanın orta xətti. Dərslikdə belə deyilir: trapesiyanın yan tərəflərinin orta nöqtələrini birləşdirən parçaya trapesiyanın orta xətti deyilir. Diqqət edin: orta xətt məhz yan tərəflərin orta nöqtələrini birləşdirir. Oturacaqların orta nöqtələrini birləşdirən parça başqa parçadır. Rauf babanın orta ipi isə damın orta xəttidir. İndi əsas sual: orta xəttin uzunluğu nəyə bərabərdir? Cavabı teorem verir. Teorem belə səslənir: trapesiyanın orta xətti oturacaqlarına paraleldir və uzunluğu oturacaqların uzunluqları cəminin yarısına bərabərdir. Sadə dillə desək, iki oturacağı toplayın və cəmi ikiyə bölün. Orta xətt kiçik oturacaqla böyük oturacağın ədədi ortasıdır. Rauf babanın hesabı da elə bu idi. İyirmi üstəgəl otuz səkkiz, əlli səkkiz edir. Əlli səkkizin yarısı iyirmi doqquzdur. Buna görə orta ip iyirmi doqquz metrdir. Teoremin birinci hissəsini də damda gördük: ip yuxarı kənara və saçağa paralel uzanırdı. Bu nəticəni hiss etmək üçün kiçik bir təcrübə edək. Təsəvvür edin ki, trapesiyanın kiçik oturacağı getdikcə qısalır və nəhayət bir nöqtəyə çevrilir. Trapesiya üçbucaq olur, orta xətt isə üçbucağın orta xəttinə çevrilir. Üçbucağın orta xətti oturacağın yarısına bərabərdir, bunu artıq bilirsiniz. İndi əksinə, kiçik oturacağı uzadaq, ta ki böyük oturacağa bərabər olsun. Fiqur paraleloqrama çevrilir, orta xətt isə hər iki oturacağa bərabər olur. Trapesiyada orta xətt bu iki halın arasındadır: kiçik oturacaqdan uzun, böyük oturacaqdan qısa, düz ortada. İki tələyə diqqət edin. Birinci tələ: cəmi ikiyə bölməyi unutmaq. Baba əlli səkkiz metr ip kəssəydi, ip iki dəfə uzun olardı. İkinci tələ: cəm yerinə fərqi götürmək. Otuz səkkizdən iyirmini çıxsaq, on səkkiz alınır. Belə ip orta xəttə çatmazdı. Orta xətt cəmin yarısıdır. İndi gəlin soruşaq: bu teorem niyə doğrudur? Dərslikdəki isbatın fikri çox gözəldir: trapesiyanı üçbucağa çeviririk. Kağızdakı trapesiyaya qayıdın. Yuxarı sol küncdən başlayın. Bu küncdən sağ yan tərəfin orta nöqtəsindən keçən düz xətt çəkin. Xətti davam etdirin, ta ki böyük oturacağın sağa uzantısını kəssin. Kəsişmə yerinə yeni nöqtə deyək. Beləliklə, böyük oturacağı sağ küncdən yeni nöqtəyə qədər uzatmış olduq. Sağ yan tərəfin yanında iki kiçik üçbucaq əmələ gəldi: biri orta nöqtədən yuxarıda, biri aşağıda. Yuxarıdakı üçbucağın bir tərəfi kiçik oturacaqdır, aşağıdakının bir tərəfi isə uzantı parçasıdır. Bu üçbucaqlar konqruyentdir. Niyə? Orta nöqtə sağ yan tərəfi iki bərabər hissəyə bölür. Orta nöqtədəki bucaqlar qarşılıqlı bucaqlardır. Yan tərəfin uclarındakı bucaqlar isə paralel oturacaqlarda daxili çarpaz bucaqlardır. Bərabər tərəf və ona bitişik iki bərabər bucaq: bucaq, tərəf, bucaq əlamətinə görə üçbucaqlar konqruyentdir. Buradan iki nəticə çıxır. Birincisi: uzantı parçası kiçik oturacağa bərabərdir. İkincisi: sağ yan tərəfin orta nöqtəsi çəkdiyimiz uzun xəttin də orta nöqtəsidir. İndi böyük üçbucağa baxın. Bu üçbucağın bir tərəfi trapesiyanın sol yan tərəfidir, ikinci tərəfi çəkdiyimiz uzun xətdir. Üçüncü tərəfi isə böyük oturacaqla uzantı birlikdədir. Trapesiyanın orta xətti bu üçbucağın iki tərəfinin orta nöqtələrini birləşdirir: sol yan tərəfin ortasını və uzun xəttin ortasını. Deməli, o, üçbucağın orta xəttidir. Üçbucağın orta xətti üçüncü tərəfə paraleldir və onun yarısına bərabərdir. Üçüncü tərəf isə böyük oturacaqla kiçik oturacağın cəmidir. Damın misalında bu, otuz səkkiz üstəgəl iyirmi, yəni əlli səkkiz metrdir. Yarısı iyirmi doqquz metrdir. Teorem isbat olundu. Ertəsi səhər Rauf baba damı yoxlamaq istəyir. O, iki çarpaz ip dartır: hər biri bir küncdən qarşı küncə, yəni damın diaqonalları boyunca. Birinci ip yuxarı sol küncdən aşağı sağ küncə gedir. Bu ip orta ipi bir nöqtədə kəsir və onu iki hissəyə bölür. Hissələr neçə metrdir? Diaqonal trapesiyanı iki üçbucağa bölür. Hər üçbucaqda orta ipin bir hissəsi həmin üçbucağın orta xəttidir. Aşağıdakı üçbucaq sol çəp kənardan, saçaqdan və diaqonaldan ibarətdir. Orta ipin sol hissəsi bu üçbucağın orta xəttidir. Buna görə saçağın yarısına bərabərdir: on doqquz metr. Yuxarıdakı üçbucaq yuxarı kənardan, sağ çəp kənardan və diaqonaldan ibarətdir. Orta ipin sağ hissəsi bu üçbucağın orta xəttidir və yuxarı kənarın yarısına bərabərdir: on metr. On doqquz üstəgəl on, yenə iyirmi doqquz metr edir. Teoremi başqa yolla da gördük. İndi ikinci ip: yuxarı sağ küncdən aşağı sol küncə. Eyni fikirlə bu ip orta ipi elə kəsir ki, sağ hissə on doqquz metr, sol hissə on metr olur. Beləliklə, iki diaqonal orta ipi üç hissəyə bölür. Sol kənardakı hissə on metrdir. Sağ kənardakı hissə də on metrdir. Sizə sual: iki diaqonalın arasında qalan orta hissə neçə metrdir? Fikirləşin. Cavab: orta hissə doqquz metrdir. İyirmi doqquz metrdən iki on metrlik hissəni çıxsaq, qalan hissə doqquz metrdir. Bunu başqa cür də demək olar: diaqonallar arasında qalan parça oturacaqların fərqinin yarısına bərabərdir. Otuz səkkizdən iyirmini çıxanda on səkkiz alınır. On səkkizin yarısı doqquzdur. Yadda saxlayın: orta xətt cəmin yarısıdır, diaqonallar arasındakı parça isə fərqin yarısıdır. Bu ikisini qarışdırmayın. Günorta göy guruldayır və yağış başlayır. Yaxşı ki, dam artıq hazırdır. Novun altında böyük bir vedrə dayanıb. Vedrəni yandan təsəvvür edin: bu da trapesiyadır, sadəcə tərsinə. Geniş ağzı yuxarıda, dar dibi aşağıdadır. Vedrənin ağzı otuz dörd santimetrdir. Yağış vedrəni düz yarıya qədər doldurur. Suyun səthi vedrənin yan divarlarının düz ortasından keçir. Deməli, bu, trapesiyanın orta xəttidir. Elnarə suyun səthini ölçür: otuz santimetr. Bəs vedrənin dibinin eni nə qədərdir? Fikirləşin. Cavab: iyirmi altı santimetr. Burada teoremi tərsinə işlədirik. Orta xətt cəmin yarısıdırsa, cəm orta xəttin iki mislidir. İki dəfə otuz, altmış santimetr edir. Altmışdan ağzın otuz dörd santimetrini çıxırıq və dib üçün iyirmi altı santimetr qalır. Yoxlayaq: otuz dörd üstəgəl iyirmi altı, altmış edir. Altmışın yarısı otuzdur. Tələyə diqqət: otuzla otuz dördün ortasını götürüb otuz iki demək səhvdir. Axşama yaxın yağış kəsir. Rauf baba eyvanın kiçik damına baxır. Bu dam da trapesiyadır və iki çəp kənarı bərabərdir: hər biri dörd metr. Baba damın dörd kənarının hamısına tənəkə zolaq vurmaq istəyir, yəni ona damın perimetri lazımdır. Yuxarı kənara və saçağa əli çatmır, amma orta ipin uzunluğunu bilir: on dörd metr. Zolaq neçə metr olmalıdır? Fikirləşin. Cavab: otuz altı metr. Perimetr iki oturacaqdan və iki çəp kənardan ibarətdir. İki oturacaq birlikdə orta xəttin iki mislidir. Deməli, perimetr orta xətt ilə bir çəp kənarın cəminin iki mislidir. On dörd üstəgəl dörd, on səkkiz edir. İki dəfə on səkkiz, otuz altı metr edir. Tələyə diqqət: orta xətti iki oturacağın cəmi kimi götürmək səhvdir. Belə etsəniz, iyirmi iki metr alınar və zolaq çatmaz. Gəlin yenidən kəndə qayıdaq. Axşamdır, yağış yenidən başlayıb və təzə kirəmitlərin üstündə yavaş-yavaş döyəcləyir. Elnarə babasına dünənki sualın cavabını özü deyir: «Orta ip damın orta xəttidir. Sən yuxarı kənarla saçağı topladın, əlli səkkiz aldın və yarıya böldün. Buna görə ölçmədən iyirmi doqquz metr kəsdin!» Rauf baba razılıqla başını tərpədir. Elnarə əlavə edir: «Çarpaz iplərin arasında qalan parça da fərqin yarısıdır, yəni doqquz metrdir.» Bu günün əsas fikrini yadda saxlayın: trapesiyanın orta xətti yan tərəflərin orta nöqtələrini birləşdirir, oturacaqlara paraleldir və onların cəminin yarısına bərabərdir. Orta xətti və bir oturacağı bilsəniz, orta xətti iki dəfə artırıb həmin oturacağı çıxın: o biri oturacaq alınar. Diaqonallar arasında qalan parça isə oturacaqların fərqinin yarısıdır. Misalları addım-addım görmək üçün oxu dərsinə və videoya baxın. Ev üçün kiçik tapşırıq: dəftərdə istənilən trapesiya çəkin, orta xəttini xətkeşlə ölçün və oturacaqların cəminin yarısı ilə müqayisə edin. Dinlədiyiniz üçün təşəkkür edirəm. Növbəti dərsdə görüşənədək!