Bərabərsizliklər: «ən azı yüz otuz santimetr»

Mətn (transkript)

Təsəvvür edin: şənbə günüdür, şəhərin istirahət parkı səs-küylə doludur. Elvin, kiçik bacısı Səma və anaları parkın ən məşhur attraksionuna, «Şimşək» adlı sürətli qatara tələsirlər. Girişdə hündür bir taxta lövhə dayanır. Lövhədə uzunboğaz bir zürafə çəkilib, yanında da yazı: «Boyu ən azı yüz otuz santimetr olanlar minə bilər». Səma lövhənin yanında dümdüz dayanır. Növbətçi işçi onun başının üstünə kiçik bir taxta lövhəcik qoyur. «Yüz iyirmi səkkiz santimetr», deyir işçi. «Bağışla, balaca, bu dəfə olmaz.» Elvin isə yüz qırx beş çıxır, o keçə bilər. Səma narazıdır: «Cəmi iki santimetr çatmır! Bəs boyum düz yüz otuz olsaydı, minə bilərdim?» Lövhədəki o qısa cümlədə əslində bütöv bir riyazi fikir gizlənib. Bu gün o fikri açacağıq. Dərsimizin mövzusu bərabərsizliklərdir. Sonda Səmanın sualına da dəqiq cavab verəcəyik. Birinci hissə: bərabərsizlik nədir? Tənlikdə iki tərəf bərabərdir, məsələn, «iks üstəgəl beş bərabərdir on iki», və onu doğru edən bircə ədəd var: yeddi. Bərabərsizlikdə isə iki tərəf müqayisə olunur. Bunun üçün dörd işarə var. «Böyükdür» və «kiçikdir» işarələri yana çevrilmiş bucağa bənzəyir: bucağın açıq ağzı həmişə böyük ədədə baxır, iti ucu kiçik ədədə. Bucağın altına kiçik bir xətt çəksək, daha iki işarə alınır: «böyük və ya bərabərdir» və «kiçik və ya bərabərdir». O xətt deyir ki, bərabər olmaq da olar. Ədədlərlə yazılan bərabərsizlik ya doğrudur, ya yanlış. «Beş böyükdür üç» doğrudur. «İki böyükdür yeddi» yanlışdır. «Dörd kiçik və ya bərabərdir dörd» isə doğrudur, çünki bərabər olmaq da olar. İndi dəyişən gəlir. «İks böyükdür üç» hələ nə doğrudur, nə yanlış: hər şey iksin yerinə hansı ədədi yazacağımızdan asılıdır. Dəyişənin bərabərsizliyi doğru edən hər qiyməti onun həllidir. Tənlikdən fərqli olaraq, bərabərsizliyin adətən çoxlu həlli olur: dörd də, beş də, yüz də. Parkdakı lövhə də bir bərabərsizlikdir. Boyu iks ilə işarə edək. Lövhə deyir: iks böyük və ya bərabərdir yüz otuz. Yeri gəlmişkən, insanlar bu fikri çox qədimdən bilirdilər, amma uzun müddət sözlərlə yazırdılar. Dərsliyimizə görə, «böyükdür» və «kiçikdir» işarələrini ilk dəfə ingilis riyaziyyatçısı Tomas Harriot işlədib, «və ya bərabərdir» olan işarələri isə fransız riyaziyyatçısı Pyer Buqe işlədib. İkinci hissə: ədədin həll olub-olmadığını necə yoxlayaq? Dərslikdəki qayda belədir: ədədi dəyişənin yerinə yazıb ifadənin qiymətini tapırıq, sonra alınan bərabərsizliyin doğru olub-olmadığını yoxlayırıq. Götürək «iks üstəgəl dörd böyükdür doqquz». Yeddi həlldirmi? Yeddi üstəgəl dörd on bir edir. On bir böyükdür doqquz, doğrudur. Yeddi həlldir. Bəs beş? Beş üstəgəl dörd doqquz edir. Doqquz böyükdür doqquz isə yanlışdır: doqquz özündən böyük deyil, ona bərabərdir. Beş həll deyil, çünki işarə sadəcə «böyükdür». İndi «iki iks çıx bir kiçik və ya bərabərdir yeddi». Dördü yoxlayaq: iki dəfə dörd səkkiz, çıx bir, yeddi. Yeddi kiçik və ya bərabərdir yeddi, doğrudur. Dörd həlldir. Beşi yazsaq, doqquz alınır, doqquz isə yeddidən böyükdür. Beş həll deyil. Parkdakı işçi də elə bunu etdi: yüz iyirmi səkkiz böyük və ya bərabərdirmi yüz otuz? Xeyr. Bərabərsizlik yanlış oldu, Səma qatara minmədi. Elvinin yüz qırx beşi isə onu doğru etdi. Üçüncü hissə: həllər ədəd oxunda. Həllər çox olanda onları sadalamaq olmur, ədəd oxu kömək edir. Gözünüzün önünə düz bir yol gətirin: ortada sıfır, sağa doğru bir, iki, üç, sola doğru mənfi bir, mənfi iki. Sağa getdikcə ədədlər böyüyür. «İks böyükdür mənfi bir». Sərhəd mənfi birdir. Mənfi bir böyükdür mənfi bir yanlışdır, ona görə mənfi birin üstündə içi boş dairə çəkirik, sanki orada kiçik bir deşik var: bu ədəd həllə daxil deyil. O dairədən sağa doğru qalın bir şüa çəkirik: sıfır, bir, iki və sağdakı bütün ədədlər. İndi «iks kiçik və ya bərabərdir üç». Üç kiçik və ya bərabərdir üç doğrudur, ona görə üçün üstündə içi dolu, rənglənmiş nöqtə qoyuruq: bu ədəd həllə daxildir. Şüa isə sola gedir. Qısa qayda: sadəcə «böyükdür» və ya «kiçikdir» olanda dairə boşdur, «və ya bərabərdir» olanda nöqtə doludur. «Böyükdür» şüanı sağa, «kiçikdir» sola göndərir. Bir tələ də var: «yeddi böyükdür iks» yazılanda iksdən başlayıb oxuyun: iks yeddidən kiçikdir, şüa sola gedir. Dördüncü hissə: ən böyük, ən kiçik və neçə həll. Ən böyük və ya ən kiçik tam həll soruşulanda sərhəd ədədindən başlayın və onun qonşularını yoxlayın. «İks kiçikdir səkkiz». Səkkiz özü həll deyil. Solundakı qonşu yeddidir: yeddi kiçikdir səkkiz, doğrudur. Ən böyük tam həll yeddidir. «Kiçik və ya bərabərdir» olsaydı, cavab səkkiz olardı. O kiçik xətt cavabı dəyişir. «İks böyükdür mənfi yeddi». Mənfi yeddi həll deyil. Mənfi səkkiz də yox: o, ədəd oxunda soldadır, deməli, kiçikdir. Sağdakı qonşu mənfi altıdır, ən kiçik tam həll odur. Ən böyük həll isə yoxdur: şüa sağa sonsuzadək gedir. Bəzən həllər iki sərhəd arasında qalır. Deyək ki, iks mənfi üçdən böyükdür, amma ikidən kiçikdir. Ədəd oxunda mənfi üçdə və ikidə iki boş dairə var, arada qısa bir parça. Tam ədədləri barmaqla sayaq: mənfi iki, mənfi bir, sıfır, bir. Dörd tam həll. İki səhvə diqqət edin. Birincisi, sıfırı unutmaq: sıfır da tam ədəddir. İkincisi, sərhədləri çıxmaq: iki ilə mənfi üçün fərqi beşdir, amma həll dörddür, çünki boş dairələr sayılmır. Ən etibarlısı bir-bir sadalamaqdır. Beşinci hissə: gündəlik dildə bərabərsizliklər. Parka qayıdaq. Lövhələr işarə yazmır, sözlə danışır. «Ən azı» deməkdir: həmin ədəd də olar, ondan böyüyü də. Bu, «böyük və ya bərabərdir». «Ən çoxu» isə: həmin ədəd də olar, ondan kiçiyi də. Bu, «kiçik və ya bərabərdir». Gölün kənarında qayıq dayanacağı var. Lövhədə yazılıb: «Bir qayıqda ən çoxu dörd nəfər». Elvin, Səma və anaları üç nəfərdir, minə bilərlər. Dörd nəfər də olar, beşinci isə artıqdır. Bilet kassasında başqa elan: «On yaşdan kiçik uşaqlara bilet yarı qiymətinədir». Burada sadəcə «kiçikdir» var. Doqquz yaşlı Səmaya güzəşt düşür, düz on yaşı olan uşağa isə düşmür. İnkarlı cümlələrə də diqqət edin. «Yüz otuzdan az olmamalıdır», «ən azı yüz otuz» ilə eynidir. «Dörddən çox olmamalıdır» isə «ən çoxu dörd» deməkdir. Sadəcə «dörddən çox» desək, dördün özü daxil deyil. Gəlin yığaq. Bərabərsizlik iki tərəfi dörd işarədən biri ilə müqayisə edir. Ədədin həll olub-olmadığını onu dəyişənin yerinə yazıb yoxlayırıq. Ədəd oxunda boş dairə sərhədi çıxarır, dolu nöqtə daxil edir. Ən böyük və ən kiçik tam həlli sərhəd və qonşularından tapırıq, iki sərhəd arasındakı həlləri isə bir-bir sayırıq. İndi Səmanın sualı. Lövhə deyir: iks böyük və ya bərabərdir yüz otuz. Ədəd oxunda yüz otuzun üstündə dolu nöqtə var. Deməli, boyu düz yüz otuz olan uşaq minə bilər: «ən azı» bərabərliyi də qəbul edir. Səmanın yüz iyirmi səkkizi isə nöqtədən solda qalır. Lövhə hər uşağın boyunu ayrıca yazmır. Bir qısa bərabərsizlik bütün boyları iki dəstəyə ayırır: minənlər və gözləyənlər. Səma gülümsəyir: bir-iki ildən sonra o da dolu nöqtənin sağında olacaq. Elvin isə artıq qatarda oturub. Növbəti dəfə «ən azı» və ya «ən çoxu» yazısı görəndə onu bərabərsizlik kimi oxuyun: sərhəd hansı ədəddir, o özü daxildirmi, həllər hansı tərəfə gedir? Sağ olun, yenidən görüşənədək.