İkihədlinin kvadratı: şokoladdakı gizli zolaqlar

Mətn (transkript)

Təsəvvür edin: qış axşamıdır, mətbəxdə divar saatı sakitcə işləyir. Nərmin və onun kiçik qardaşı Elvin masa arxasında oturublar. Qarşılarında kvadrat formalı bir şokolad var: dörd sıra, hər sırada dörd dilim. Cəmi on altı dilim. Onlar şokoladı həmişə yarı bölürlər: hərəyə səkkiz dilim. Bir gün mağazada eyni şokoladın böyük tableti peyda olur. Üzərində yazılıb: «Hər tərəfdə bir dilim artıq!» Elvin dərhal hesablayır: «Dördün kvadratı on altıdır, birin kvadratı birdir. On altı üstəgəl bir, on yeddi dilim. Cəmi bir dilim artıb, almağa dəyməz.» Nərmin isə tabletə baxıb fikrə gedir. Sizcə, Elvin haqlıdırmı? Yeni tabletdə neçə dilim var və artıq dilimlər harada gizlənib? Dərsin sonunda yalnız cavabı yox, Elvinin səhvinin səbəbini də biləcəksiniz. Çünki bu səhvi hərflərlə işləyəndə də çoxları edir. Salam! Bu gün ikihədlilərin kvadrata yüksəldilməsindən danışacağıq. Əvvəlcə şokoladı ağılda sındırıb artıq dilimləri sayacağıq. Sonra eyni şəkli hərflərlə quracağıq: cəmin kvadratını və fərqin kvadratını. Bu qaydanın ağılda hesabda necə kömək etdiyini eşidəcəksiniz. Min iki yüz ildən də çox əvvəl Bağdadda yaşamış bir alimin eyni şəkli necə çəkdiyini öyrənəcəksiniz. Sonda isə ən çox rast gəlinən tələlərə baxacağıq. Əvvəlcə «kvadrat» sözünü xatırlayaq. Ədədi kvadrata yüksəltmək onu özünə vurmaq deməkdir: üçün kvadratı üç vur üç, yəni doqquzdur. Bu ad təsadüfi deyil. Tərəfi üç olan kvadratı kiçik xanalara bölsəniz, üç sıra alınar, hər sırada üç xana. Cəmi doqquz xana. Deməli, ədədin kvadratı tərəfi o ədəd olan kvadratın sahəsidir. Bu şəkil bütün dərs boyu bizim əsas köməkçimiz olacaq. İndi Nərminin etdiyini edək: yeni tableti ağılda sındıraq. Yeni tabletin hər tərəfində beş dilim var: köhnə dörd dilim və bir artıq. Deməli, burada beş sıra var, hər sırada beş dilim. Bu, iyirmi beş dilim edir, Elvinin dediyi on yeddi yox. Bəs bu dilimlər necə yerləşib? Küncdə köhnə tabletin tam surəti durur: dörd sıra, dörd dilim, on altı. Onun sağ tərəfi boyunca bir zolaq uzanır: dörd dilim. Aşağı tərəfi boyunca ikinci zolaq uzanır: yenə dörd dilim. Və küncdə tək bir dilim qalır. Gəlin toplayaq: on altı üstəgəl dörd, üstəgəl dörd, üstəgəl bir. İyirmi beş. Artıq dilimlər bir yox, düz doqquzdur. Elvin böyük kvadratı da, küncdəki kiçik dilimi də saydı, amma iki zolağı unutdu. Halbuki ən çox dilim məhz o zolaqlardadır. Hər zolaq köhnə tərəflə yeni əlavənin hasilidir: dörd vur bir. Və belə zolaq bir yox, ikidir. Bu şəkil təkcə şokolad üçün deyil. Tərəfi iki hissədən ibarət istənilən kvadratı götürün: böyük hissə və kiçik hissə. Onu həmişə dörd parçaya bölmək olar: böyük kvadrat, kiçik kvadrat və iki eyni düzbucaqlı. Bu dörd parçanı yadda saxlayın. Dərsin qalan hissəsi onların üzərində qurulub. İndi ədədlərdən hərflərə keçək. Tərəfi a üstəgəl be olan kvadratı təsəvvür edin. Bir küncdə tərəfi a olan böyük kvadrat durur, onun sahəsi a-nın kvadratıdır. Qarşı küncdə tərəfi be olan kiçik kvadrat var, sahəsi be-nin kvadratıdır. Qalan iki boşluğu iki eyni düzbucaqlı tutur. Hər birinin bir tərəfi a, o biri tərəfi be-dir, sahəsi isə a vur be. Eyni nəticəni şəkilsiz də almaq olar. Siz çoxhədlini çoxhədliyə vurmağı artıq bilirsiniz: birincinin hər həddi ikincinin hər həddinə vurulur. A üstəgəl be cəmini özünə vuraq. Dörd hasil alınır: a vur a, a vur be, be vur a və be vur be. Ortadakı iki hasil eynidir. Bunlar şokoladdakı iki zolaqdır. Onları birləşdirəndə a vur be hasilinin iki misli alınır. Dərslik bu qaydanı sözlə belə deyir: «İki ifadənin cəminin kvadratı bu ifadələrin kvadratları cəmi ilə onların hasilinin iki mislinin cəminə bərabərdir.» Uzun cümlədir, amma içində bizim dörd parça var. Kvadratlar cəmi böyük və kiçik kvadratdır. Hasilin iki misli iki zolaqdır. Qısa yadda saxlamaq üçün belə deyin: birincinin kvadratı, üstəgəl hasilin iki misli, üstəgəl ikincinin kvadratı. Bir misala baxaq: altı iks üstəgəl bir cəminin kvadratı. Birinci hədd altı iksdir və o, bütövlükdə kvadrata yüksəlir: həm altı, həm də iks. Altı vur altı otuz altıdır, iks vur iks iksin kvadratıdır. Deməli, birincinin kvadratı otuz altı iks kvadratdır. Hasilin iki misli: iki vur altı iks vur bir, yəni on iki iks. İkincinin kvadratı isə birdir. Cavab: otuz altı iks kvadrat, üstəgəl on iki iks, üstəgəl bir. İkihədlinin kvadratı üç hədli bir ifadəyə, yəni üçhədliyə çevrildi. Dərslik belə üçhədlilərə ayrıca ad da verir: tam kvadrat. Yəni bu üç hədd əslində bir kvadratın gizlənmiş parçalarıdır. Bu adı yadda saxlayın, ona sonrakı dərslərdə qayıdacaqsınız. İndi ikinci düstura keçək: iki ifadənin fərqinin kvadratı. A çıx be fərqini özünə vuraq. Yenə dörd hasil alınır. A vur a, a-nın kvadratı verir. Ortada iki hasil var, hər biri a vur be, amma hər ikisi mənfi işarəlidir, çünki onlarda be mənfi işarə ilə gəlir. Sonuncu hasil isə mənfi be vur mənfi be-dir. Mənfini mənfiyə vuranda müsbət alınır. Ona görə də son hədd yenə üstəgəl be-nin kvadratıdır. Dərslik bunu belə deyir: «İki ifadənin fərqinin kvadratı bu ifadələrin kvadratları cəmi ilə onların hasilinin iki mislinin fərqinə bərabərdir.» Diqqət edin: kvadratlar yenə toplanır. Dəyişən yalnız ortadakı həddin işarəsidir. Cəmin kvadratında o, üstəgəl ilə gəlir, fərqin kvadratında isə çıxılır. Bir misal: iks çıx dörd fərqinin kvadratı. Birincinin kvadratı iksin kvadratıdır. Hasilin iki misli iki vur iks vur dörddür, yəni səkkiz iks, amma o, çıxılır. İkincinin kvadratı on altıdır. Cavab: iksin kvadratı, çıx səkkiz iks, üstəgəl on altı. Yoxlamaq asandır: iksin yerinə beş qoyun. Beş çıx dörd birdir, birin kvadratı da birdir. Üçhədlidə isə iyirmi beş, çıx qırx, üstəgəl on altı alınır. Yenə bir. Burada maraqlı bir nəticə də var. Dörd çıx iks fərqinin kvadratı da tam eyni üçhədlini verir. Səbəbi sadədir: bir ədədin və onun əksinin kvadratları bərabərdir. Üçü özünə vursanız doqquz alırsınız, mənfi üçü özünə vursanız da, yenə doqquz. Ona görə də fərqin kvadratında hansı ifadənin birinci yazılması nəticəni dəyişmir. Yaxşı, bəs bu düsturlar nəyə lazımdır? Birinci cavab: ağılda hesab. Qırx birin kvadratını tapaq. Qırx bir, qırx üstəgəl birdir. Qırxın kvadratı min altı yüzdür. Hasilin iki misli: iki vur qırx vur bir, yəni səksən. Birin kvadratı birdir. Hamısı birlikdə min altı yüz səksən bir. Uzun vurmaya ehtiyac qalmadı. İndi əlli doqquzun kvadratına baxaq. Onu altmış çıx bir kimi yazmaq daha rahatdır. Altmışın kvadratı üç min altı yüzdür. Hasilin iki misli yüz iyirmidir və fərqin kvadratında o çıxılır. Birin kvadratı isə yenə üstəgəl gəlir. Üç min altı yüz, çıx yüz iyirmi, üstəgəl bir: üç min dörd yüz səksən bir. Burada çoxları ortadakı yüz iyirmini unudur və cavabı üç min beş yüz doxsan doqquz deyir. Bu, Elvinin səhvinin eynisidir. Bütün sirr budur: ədədi ona yaxın yuvarlaq ədədin cəmi və ya fərqi kimi yazın. Yuvarlaq ədədin kvadratını tapmaq asandır. Hasilin iki mislini və kiçik ədədin kvadratını tapmaq da asandır. İndi zamanda geri qayıdaq, min iki yüz ildən də çox əvvələ, Bağdada. Səkkizinci sinif riyaziyyat dərsliyi əl-Xarəzmi adlı riyaziyyatçıdan danışır. O, Bağdadda yaşamış, cəbrə aid bilikləri sistemə salmışdır. Ona cəbrin atası deyirlər. «Cəbr» sözü onun kitabının adından götürülüb. Bu gün bütün dillərdə işlədilən «alqoritm» sözü də onun adından yaranıb. Dərsliyə görə, əl-Xarəzmi belə bir məsələni həll etmişdir. Naməlum ədədin kvadratı ilə həmin ədədin on mislinin cəmi otuz doqquzdur. Naməlum ədəd nədir? O, həllini şəkillə də göstərmişdir. Tərəfi naməlum ədəd olan kvadrat çəkin. Həmin ədədin on mislini iki bərabər hissəyə bölün və kvadratın iki tərəfinə iki zolaq kimi yapışdırın. Hər zolağın eni beşdir. Bu şəkil sizə tanış gəlmir? Bu, bizim şokolad tabletidir, sadəcə küncdəki kiçik kvadrat çatışmır. Əl-Xarəzmi həmin boş küncü doldurdu. Künc tərəfi beş olan kvadratdır, sahəsi iyirmi beş. Onu əlavə edəndə şəkil tam kvadrata çevrilir. Sahəsi isə otuz doqquz üstəgəl iyirmi beş, yəni altmış dörd olur. Sahəsi altmış dörd olan kvadratın tərəfi səkkizdir. Bu tərəf naməlum ədəd üstəgəl beşdir. Deməli, naməlum ədəd üçdür. Bu hekayədə yeni heç nə yoxdur: yenə böyük kvadrat, iki zolaq və künc. Biz bu gün şəkli bir istiqamətdə oxuduq: tərəfdən sahəyə. Əl-Xarəzmi isə onu tərsinə oxudu: hissələrdən bütöv kvadratı yığdı. Bu üsulu səkkizinci sinifdə ətraflı öyrənəcəksiniz. İndi ən çox rast gəlinən tələlərə baxaq. Birinci tələ Elvinin tələsidir: cəmin kvadratını kvadratların cəmi kimi yazmaq, yəni ortadakı həddi tamamilə unutmaq. Kiçik ədədlərlə yoxlayın. Bir üstəgəl iki üç edir, üçün kvadratı doqquzdur. Birin kvadratı ilə ikinin kvadratının cəmi isə cəmi beşdir. Aradakı fərq düz iki zolaqdır. İkinci tələ: ortadakı həddi ikiqat etməyi unutmaq, yəni zolaqlardan yalnız birini saymaq. Üçüncü tələ: əmsalı kvadrata yüksəltməyi unutmaq. Altı iksin kvadratı otuz altı iks kvadratdır, altı iks kvadrat yox. Kvadrata həddin hamısı yüksəlir: həm ədəd, həm də hərf. Dördüncü tələ fərqin kvadratındadır. Orada son hədd həmişə üstəgəl ilə gəlir, çünki mənfi vur mənfi müsbətdir. Fərqin kvadratını sadəcə iki kvadratın fərqi kimi yazmaq da səhvdir, çünki ortadakı hədd yenə itir. İki kvadratın fərqi başqa bir mövzudur, onu ayrıca öyrənəcəksiniz. İndi mətbəxə qayıdaq. Nərmin böyük tableti alır və dilimləri sayır: iyirmi beş. Elvin səkkiz dilim az saymışdı. O səkkiz dilim harada idi? Köhnə tabletin iki tərəfi boyunca uzanan iki zolaqda, hər birində dörd dilim. Bu dəfə şokolad yarı bölünmür: hərəyə on iki dilim düşür, küncdəki tək dilim isə artıq qalır. Onu kimin yeyəcəyini özünüz həll edin. Bu dərsdən bir fikri götürün: kvadrat cəmə paylanmır. Tərəfi iki hissədən ibarət olan kvadratın içində həmişə iki kvadrat və iki eyni düzbucaqlı var. Ona görə də cəmin kvadratı kvadratların cəmindən hasilin iki misli qədər böyükdür. Fərqin kvadratında isə hasilin iki misli çıxılır. Düsturu unutsanız, şokolad tabletini xatırlayın: şəkil düsturu sizə özü deyəcək. Yazılı addımları, əmsallı və onluq kəsrli misalları, ifadələri sadələşdirməyi və tənlikləri oxu dərsində tapacaqsınız. Hər cavabı hərfin yerinə bir ədəd qoyaraq yoxlamağı unutmayın. Dinlədiyiniz üçün təşəkkür edirəm. Növbəti dərsdə görüşənədək!