İkihədlilərin kvadrata yüksəldilməsi

• 2.30
• 7-ci sinif
• Müxtəsər vurma düsturları

İkihədlilərin kvadrata yüksəldilməsi

Tərəfi 7 m olan kvadrat bağçanın hər tərəfini 3 m uzatdılar. Yeni sahə 7² + 3² = 58 m² olacaq? Yox — 100 m². Artıq 42 m² haradan gəlir? Cavab şəkildədir: iki 7 · 3 zolağı.

Bu dərsdə

• (a + b)² və (a − b)² düsturlarını vurma ilə çıxaracaq və sahə şəkli ilə izah edəcəksən;
• ikihədlinin kvadratını çoxhədli şəklində yazacaqsan: əmsallı, onluq kəsrli və qüvvətli hədlərlə;
• düsturla ədədləri ağılda kvadrata yüksəldəcək, ifadəni sadələşdirəcək və tənlik həll edəcəksən.

Tərəfi a + b olan kvadrat dörd hissəyə bölünür

Başla Yenidən Yenidən

1. Kvadrat sahədir
2. Cəmin kvadratı
3. Fərqin kvadratı
4. Hesabla
5. Ağılda
6. Diqqət
7. Düsturla işlər
8. Həyatda
9. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Kvadrat — özünə hasildir

Ədədi kvadrata yüksəltmək onu özünə vurmaq deməkdir: 9² = 9 · 9 = 81. Şəkildə bu, tərəfi 9 olan kvadratın sahəsidir. Bu qayda hərfi ifadələr üçün də ödənir: (a + b)² = (a + b)(a + b) — iki eyni ikihədlinin hasili.

Tərəfi iki hissədən ibarət olan kvadrata bax. Hissələrin kvadratlarını toplasaq, bütün sahəni alarıqmı?

Kvadratın tərəfini seç

5 + 2 6 + 3 7 + 1

(5 + 2)² = 7² = 49: 25 + 10 + 10 + 4 (6 + 3)² = 9² = 81: 36 + 18 + 18 + 9 (7 + 1)² = 8² = 64: 49 + 7 + 7 + 1

(5 + 2)² = 7² = 49. Kvadratlar: 25 + 4 = 29 — 20 çatmır. Çatmayan iki narıncı zolaqdır: 10 + 10 = 2 · 5 · 2.

(6 + 3)² = 9² = 81. Kvadratlar: 36 + 9 = 45 — 36 çatmır: 18 + 18 = 2 · 6 · 3.

(7 + 1)² = 8² = 64. Kvadratlar: 49 + 1 = 50 — 14 çatmır: 7 + 7 = 2 · 7 · 1.

Hər xana 1 kvadrat vahiddir. Mavi və lime kvadratlardan başqa həmişə iki eyni narıncı düzbucaqlı qalır.

Deməli, cəmin kvadratı kvadratların cəminə bərabər deyil. Kvadratlara hər dəfə iki hissənin hasilinin iki misli əlavə olunmalıdır.

2 · Qayda

Cəmin kvadratı

İndi eyni şeyi hərflərlə, çoxhədlilərin vurulması qaydası ilə edək: birinci mötərizənin hər həddini ikincinin hər həddinə vururuq.

(a + b)² = (a + b)(a + b) = a · a + a · b + b · a + b · b = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²

Yadda saxla

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Dərslikdə: «iki ifadənin cəminin kvadratı bu ifadələrin kvadratları cəmi ilə onların hasilinin iki mislinin cəminə bərabərdir». Dərslik eyni düsturu a² + b² + 2ab kimi yazır — hədlərin yeri dəyişəndə cəm dəyişmir.

Dörd hasil — dörd sahə

Cədvəl dərsin əvvəlindəki böyük kvadratın özüdür: sətir və sütun başlıqları tərəflər, xanalar sahələrdir. Dərslikdəki qeyd kimi: böyük kvadratın sahəsi onu əmələ gətirən düzbucaqlıların və kvadratların sahələri cəminə bərabərdir.

Hasilin iki misli

2ab = 2 · a · b

Orta hədd iki eyni düzbucaqlıdır, ona görə hasil iki dəfə götürülür.

Tam kvadrat

a² + 2ab + b²

Belə üçhədliləri dərslik tam kvadrat adlandırır: onlar ikihədlinin kvadratına bərabərdir.

3 · Qayda

Fərqin kvadratı

(a − b)²-ni də özünə vururuq. Burada ikinci hədd −b-dir: işarəsi ilə birlikdə vurulur.

(a − b)² = (a − b)(a − b) = a · a + a · (−b) + (−b) · a + (−b) · (−b) = a² − ab − ab + b² = a² − 2ab + b²

Yadda saxla

(a − b)² = a² − 2ab + b²

Dərslikdə: «iki ifadənin fərqinin kvadratı bu ifadələrin kvadratları cəmi ilə onların hasilinin iki mislinin fərqinə bərabərdir». Son hədd müsbətdir: (−b) · (−b) = b².

İşarəli dörd hasil

(a − b)² sahə şəklində: a² − ab − ab + b²

Başla Yenidən Yenidən

Mavi kvadrat a²-dir. Ondan iki ab zolağını çıxırıq. Künc b² hər iki zolaqda olduğu üçün iki dəfə çıxılıb — bir dəfə geri əlavə edirik. Qalan kvadratın tərəfi a − b-dir. Şəkil a > b > 0 üçündür, düstur isə istənilən ədədlər üçün doğrudur.

Sıra fərq etmir

(b − a)² = (a − b)²

b − a = −(a − b), mənfi ədədin kvadratı isə müsbətdir: (1 − k)² = (k − 1)² = k² − 2k + 1.

Cəm və fərq

± 2ab

İki düstur yalnız orta həddin işarəsi ilə fərqlənir. a² və b² hər ikisində müsbətdir.

4 · Hesabla

İkihədlinin kvadratını çoxhədli kimi yaz

Düstur hər cür ifadəyə işləyir: a və b-nin yerində ədəd, birhədli, kəsrli və ya qüvvətli hədd ola bilər. Həmişə eyni dörd addım:

1. Birinci (a) və ikinci (b) ifadəni tap — bütöv, əmsalı ilə birlikdə.
2. Birincinin kvadratı: əmsal da, hərf də kvadrata yüksəlir.
3. Hasilin iki misli: 2 · a · b; cəmdə «+», fərqdə «−».
4. İkincinin kvadratı: həmişə «+».

Nümunə 1Cəmin kvadratı

(y + 7)² ifadəsini çoxhədli şəklində yazın.

1. a = y, b = 7.
2. y²; 2 · y · 7 = 14y; 7² = 49.
3. Yoxlama: y = 1 olsun. (1 + 7)² = 64 və 1 + 14 + 49 = 64 — eynidir. (y + 7)² = y² + 14y + 49

Nümunə 2Əmsallı hədlər

(5a − 2b)² ifadəsini çoxhədli şəklində yazın.

1. Birinci ifadə 5a, ikinci 2b; fərqin kvadratıdır.
2. (5a)² = 25a² — 5 də kvadrata yüksəlir.
3. 2 · 5a · 2b = 20ab, fərqdə çıxılır.
4. (2b)² = 4b². (5a − 2b)² = 25a² − 20ab + 4b²

Nümunə 3Onluq kəsr

(0,3x + 2)²

1. (0,3x)² = 0,09x² (0,3 · 0,3 = 0,09).
2. 2 · 0,3x · 2 = 1,2x; 2² = 4. 0,09x² + 1,2x + 4

Nümunə 4Qüvvətli hədd

(a³ − 2a)²

1. (a³)² = a⁶ — qüvvətin qüvvətində üstlər vurulur.
2. 2 · a³ · 2a = 4a⁴; (2a)² = 4a². a⁶ − 4a⁴ + 4a²

Birinci hədd mənfidirsə. (−p − 3)² = (−(p + 3))² = (p + 3)² = p² + 6p + 9. Mötərizədən çıxarılan «−» kvadratda itir, çünki (−1)² = 1.

5 · Ağılda hesabla

Böyük ədədin kvadratı — kalkulyatorsuz

Ədədi yuvarlaq ədədə yaxın cəm və ya fərq kimi yaz. Yuvarlaq ədədin kvadratını tapmaq asandır, qalan iki hədd kiçik olur. Dərslik 49²-ni belə hesablayır: (50 − 1)² = 2500 − 100 + 1 = 2401.

Düsturla ağılda hesab

Orta hədd həmişə 2 · a · b-dir: 297² üçün 2 · 300 · 3 = 1800. Onu unutsan, 90000 + 9 kimi çox böyük səhv alınar.

6 · Diqqət

Ən çox edilən səhvlər

Səhv

(a + b)² = a² + b²

Orta hədd itib. Ədədlə yoxla: (2 + 3)² = 25, amma 4 + 9 = 13.

Düzgün

(a + b)² = a² + 2ab + b²

4 + 12 + 9 = 25 — iki narıncı zolaq yerindədir.

Səhv

(a − b)² = a² − 2ab − b²

Son hədd mənfi yazılıb, amma (−b) · (−b) müsbətdir.

Düzgün

(a − b)² = a² − 2ab + b²

Yalnız orta hədd «−» olur; a² − b² də düzgün deyil.

Səhv

(4x)² = 4x², (0,2x)² = 0,4x²

Əmsal kvadrata yüksəldilməyib və ya 2-yə vurulub.

Düzgün

(4x)² = 16x², (0,2x)² = 0,04x²

Bütöv birhədli mötərizədə kvadrata yüksəlir: 4 · 4 və 0,2 · 0,2.

Orta həddi 2-yə vurmağı da unutma: (m + 4)²-də orta hədd 4m yox, 2 · m · 4 = 8m-dir. Şübhə edəndə hərfin yerinə 1 qoyub iki tərəfi müqayisə et.

7 · Düsturla işlər

Sadələşdir, həll et, isbat et

Kvadratı açandan sonra adətən oxşar hədlər birləşir və ifadə xeyli qısalır.

Nümunə 5Sadələşdir

(x − 6)² + 3x(x + 4) ifadəsini sadələşdirin.

1. Kvadratı aç: (x − 6)² = x² − 12x + 36.
2. Hasili aç: 3x(x + 4) = 3x² + 12x.
3. Oxşar hədlər: x² + 3x² = 4x², −12x + 12x = 0. 4x² + 36

Nümunə 6Tənlik

(x + 4)² − x² = 40 tənliyini həll edin.

1. Aç: x² + 8x + 16 − x² = 40. x² hədləri silinir — tənlik xətti olur.
2. 8x + 16 = 40, 8x = 24, x = 3.
3. Yoxlama: (3 + 4)² − 3² = 49 − 9 = 40. x = 3

Eyniliyi isbat etmək — dərslikdə deyildiyi kimi, bərabərliyin hər iki tərəfinin dəyişənlərin istənilən qiymətlərində bərabər olduğunu göstərmək deməkdir. Bir tərəfi açıb o biri tərəfi alırıq:

(a + b)² + (a − b)² = a² + 2ab + b² + a² − 2ab + b² = 2a² + 2b² = 2(a² + b²)

Cəmin kvadratından həmçinin a² + b² = (a + b)² − 2ab alınır. Məsələn, a + b = 6 və ab = 5 olarsa, a və b-ni tapmadan: a² + b² = 36 − 10 = 26. (Yoxla: 1 və 5 ədədləri üçün 1 + 25 = 26.)

8 · Həyatda

Xalça nə qədər böyüyər?

Kvadrat xalçanın tərəfi x metrdir. Usta tərəfi köhnəsindən 0,5 m uzun olan yeni kvadrat xalça toxuyur. Sahə nə qədər artar?

Xalçanın tərəfi x-dən x + 0,5-ə qədər uzadılır

Artım iki narıncı zolaq və kiçik lime küncdür.

(x + 0,5)² − x² = x² + x + 0,25 − x² = x + 0,25 (m²)

Orta hədd 2 · x · 0,5 = x — iki zolağın cəmidir. Köhnə xalçanın tərəfi 3 m idisə, sahə 3 + 0,25 = 3,25 m² artar. Yoxlama: 3,5² = 12,25 və 12,25 − 9 = 3,25.

• 0,5x + 0,5x = x
• 0,5² = 0,25

9 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan (k + 5)² ifadəsini çoxhədli şəklində yaz. Cavab variantları k² + 25 k² + 5k + 25 k² + 10k + 25 Düzdür! Orta hədd 2 · k · 5 = 10k. Yox. Orta həddi — hasilin iki mislini unutma: 2 · k · 5. Həllə bax k² + 2 · k · 5 + 5² = k² + 10k + 25.
2. Asan (1 − 3c)² nəyə bərabərdir? Cavab variantları 1 − 6c + 9c² 1 − 6c + 3c² 1 − 9c² Əla! (3c)² = 9c². Yox. 3c bütöv kvadrata yüksəlir, orta hədd də itməməlidir. Həllə bax 1² − 2 · 1 · 3c + (3c)² = 1 − 6c + 9c².
3. Orta 202²-ni düsturla ağılda hesabla. Cavab variantları 40004 40404 40804 Düzdür: 40000 + 800 + 4. (200 + 2)²-də orta hədd 2 · 200 · 2 = 800-dür. Həllə bax 202² = (200 + 2)² = 40000 + 800 + 4 = 40804.
4. Orta (0,5x − 4)² ifadəsini çoxhədli şəklində yaz. Cavab variantları 0,5x² − 4x + 16 0,25x² − 4x + 16 0,25x² − 2x + 16 Əla! 0,5 · 0,5 = 0,25 və 2 · 0,5x · 4 = 4x. Yox. Əmsalı da kvadrata yüksəlt (0,5² = 0,25) və orta həddi 2-yə vur. Həllə bax (0,5x)² − 2 · 0,5x · 4 + 4² = 0,25x² − 4x + 16.
5. Çətin (y − 3)² − y² = 21 tənliyini həll et. Cavab variantları y = −2 y = 2 y = −5 Düzdür! −6y + 9 = 21. Kvadratı aç: y² − 6y + 9; son hədd +9-dur. Sonra −6y-ə böləndə işarəyə diqqət et. Həllə bax y² − 6y + 9 − y² = 21, −6y = 12, y = −2. Yoxlama: (−5)² − 4 = 21.
6. Çətin m + n = 5 və mn = 4 olarsa, m² + n² neçədir? Cavab variantları 21 17 33 Əla! 25 − 2 · 4 = 17. Yox. (m + n)²-dən hasilin iki mislini — 2mn-i çıx. Həllə bax m² + n² = (m + n)² − 2mn = 25 − 8 = 17. Yoxlama: 1 və 4 üçün 1 + 16 = 17.

Xülasə

Yadda qalanlar

• (a + b)² = a² + 2ab + b²Kvadratlar cəmi üstəgəl hasilin iki misli — şəkildə iki eyni zolaq.
• (a − b)² = a² − 2ab + b²Yalnız orta hədd «−» olur; b² həmişə müsbətdir.
• (5a)² = 25a²Bütöv birhədli kvadrata yüksəlir; ağılda hesabda ədədi yuvarlaq ədədə yaxın cəm və ya fərq kimi yaz.

Növbəti mövzu: 2.31 İkihədlinin kvadratı düsturlarından istifadə edərək üçhədlinin vuruqlara ayrılması

Mənbə: «Riyaziyyat» — 7-ci sinif üçün dərslik, Bölmə 6 «Müxtəsər vurma düsturları», 1-ci dərs, səh. 134–136 (Araşdırma 1–2, qaydalar, Şəkil 1, Nümunə 49²). Nümunələrdəki ifadələr və ədədlər bu dərs üçün seçilib.