Üç sandıq, iki kart: sistemin neçə kökü var?

Mətn (transkript)

Təsəvvür et: məktəb kitabxanası, riyaziyyat həftəsinin son günü. Müəllim kitabxananı tapmaca otağına çevirib. Uzun masanın üstündə üç kiçik taxta sandıq var. Hər sandıq iki rəqəmli kodu olan qıfılla bağlanıb. Sən, Leyla və Tural bir komandasınız. Divardakı saat tıqqıldayır, vaxt isə azdır. Birinci sandığın qapağında bir kart var. Kartda yazılıb: «Birinci rəqəmin iki mislinə ikinci rəqəmi əlavə etsən, on beş alınar.» Altında isə kiçik hərflərlə: «Kod bu üç cütdən biridir: beş və beş, altı və üç, dörd və yeddi.» Tural dərhal hesablayır. Beşin iki misli on, üstəgəl beş, on beş. Uyğundur! Altının iki misli on iki, üstəgəl üç, yenə on beş. Dördün iki misli səkkiz, üstəgəl yeddi, yenə on beş. Üç cütün üçü də karta uyğundur. Tural gülümsəyir və qıfılı beş və beşə çevirir. Qıfıl açılmadı. Tural çiyinlərini çəkir və altı ilə üçü yığır. Yenə açılmadı. Hər iki kod karta tam uyğun idi, amma qıfıl ikisini də qəbul etmədi. Bu dərsin sonunda iki suala cavab verəcəyik. Birincisi: qıfıl karta uyğun kodu niyə rədd edir? İkincisi daha maraqlıdır. Masadakı sandıqlardan birini heç bir kod açmayacaq. Bunu qıfılı bir dəfə də fırlatmadan necə bilmək olar? Salam! Bu dinləmə dərsində ikidəyişənli xətti tənliklər sistemi ilə tanış olacağıq. Əvvəlcə kartdakı ipucunu tənliyə çevirəcəyik və iki ipucunun birlikdə nə demək olduğunu görəcəyik. Sonra sistemin kökünün nə olduğunu öyrənəcəyik. Daha sonra üç sandığın üç fərqli taleyinə baxacağıq. Sonda isə köklərin sayını tənlikləri həll etmədən, yalnız əmsallara baxaraq təyin edəcəyik. Gəl, əvvəlcə ipucunu riyaziyyat dilinə çevirək. Birinci rəqəmi iks, ikinci rəqəmi igrek adlandıraq. Kartdakı cümlə belə olur: iki iks üstəgəl igrek bərabərdir on beş. Bu, keçən dərsdən tanış olan ikidəyişənli xətti tənlikdir. Onun kökü bir ədəd deyil, ədədlər cütüdür: əvvəl iksin qiyməti, sonra igrekin qiyməti. Və belə tənliyin kökləri sonsuz saydadır. Tural məhz bunu gördü. Kartdakı üç cütün hər biri bu tənliyin köküdür. Təkcə onlar da yox: yeddi və bir də uyğundur, kəsr ədədlər də uyğundur. Bir ipucu kodu müəyyən etməyə yetmir. Leyla bunu başa düşür və sandığı ehtiyatla çevirir. Sandığın altına ikinci kart yapışdırılıb: «İkinci rəqəm birincidən üç vahid böyükdür.» Bu da ikidəyişənli xətti tənlikdir. Deməli, kod bir yox, iki tənliyə eyni zamanda tabe olmalıdır. Riyaziyyatda iki ikidəyişənli xətti tənliyin birlikdə yazılışına ikidəyişənli xətti tənliklər sistemi deyilir. Qısaca, xətti tənliklər sistemi. Dəftərdə tənlikləri bir-birinin altına yazır və sol tərəfdən fiqurlu mötərizə ilə birləşdiririk. Bu mötərizə iki sözü əvəz edir: «eyni zamanda». Hər iki şərt eyni zamanda ödənməlidir. Sistemin hər tənliyi eyni cür qurulur. Bir ədəd iksə vurulur, bir ədəd igrekə vurulur, onlar toplanır, bərabərliyin sağ tərəfində isə bir ədəd durur. İksə və igrekə vurulan ədədlərə əmsallar deyilir, sağ tərəfdəki ədədə isə sərbəst hədd. İks və igrek dəyişənlərdir. Birinci kartda iksin əmsalı iki, igrekin əmsalı bir, sərbəst hədd isə on beşdir. Bir yazılmasa da, oradadır: tək igrek bir dəfə igrek deməkdir. İkinci kartda diqqətli olmaq lazımdır. «İkinci rəqəm birincidən üç vahid böyükdür» o deməkdir ki, igrekdən iksi çıxsaq, üç qalar. Bu tənliyi də eyni quruluşa salaq: əvvəl iks, sonra igrek. İks çıxılırdı, ona görə iksin əmsalı mənfi birdir. İgrekin əmsalı birdir, sərbəst hədd üçdür. Mənfi işarəsi əmsalın bir hissəsidir və onu itirmək olmaz. İndi əsas suala keçək: kodu necə tanıyırıq? Dərslik belə deyir: sistemin hər iki tənliyini doğru bərabərliyə çevirən ədədlər cütünə sistemin kökü deyilir. Burada açar söz «hər iki» sözüdür. Yalnız bir tənliyi ödəyən cüt sistemin kökü deyil. Tural məhz burada büdrədi: o, yalnız birinci kartı yoxlamışdı. Leyla üç cütü ikinci karta görə yoxlayır. Beş və beş: ikinci rəqəm birincidən böyük deyil, fərq sıfırdır. Altı və üç: burada ikinci rəqəm hətta kiçikdir, üçdən altını çıxsaq, mənfi üç alınır. Dörd və yeddi: yeddidən dördü çıxsaq, tam üç qalır. Bu cüt birinci kartı da ödəyirdi. Deməli, dörd və yeddi hər iki tənliyi doğru bərabərliyə çevirir. Leyla qıfılı dörd və yeddiyə çevirir. Qıfıl açıldı! Bir məqama da diqqət et. Leyla rəqəmləri tərs yığsaydı, yəni yeddi və dörd, qıfıl açılmazdı. Cütdə sıra vacibdir: birinci yerdə iksin qiyməti, ikinci yerdə igrekin qiyməti durur. Dərslik daha bir cümlə deyir: sistemi həll etmək onun bütün köklərini tapmaq, ya da kökünün olmadığını göstərmək deməkdir. Bu cümlənin ikinci yarısı bizə tezliklə lazım olacaq. İkinci sandığa keçirik. Onun qapağında belə yazılıb: «Kodu tapın, ya da kodun olmadığını göstərin.» Birinci kart: «Rəqəmlərin cəmi səkkizdir.» İkinci kart: «Birinci rəqəmin iki mislinə ikinci rəqəmin iki mislini əlavə etsən, on dörd alınar.» Tural ruhlanır: cəmi səkkiz olan cüt çoxdur, birini tapmaq çətin olmayacaq. Komanda yoxlamağa başlayır. Dörd və dörd: cəmi səkkizdir, amma iki misilləri səkkiz və səkkiz, onların cəmi on altıdır, on dörd yox. Beş və üç: on üstəgəl altı, yenə on altı. Altı və iki: on iki üstəgəl dörd, yenə on altı. Nə edirlərsə, hər dəfə on altı çıxır. Saat isə tıqqıldayır. Leyla birdən dayanır. İkinci kart deyir ki, hər rəqəmin iki mislinin cəmi on dörddür. Deməli, rəqəmlərin özlərinin cəmi on dördün yarısı, yəni yeddidir. Birinci kart cəmin səkkiz olduğunu deyir, ikinci kart isə yeddi olduğunu. İki ədədin cəmi eyni zamanda həm səkkiz, həm yeddi ola bilməz. Bu sandığı heç bir kod açmayacaq. Leyla bunu kağıza yazıb müəllimə göstərir. Müəllim başını tərpədir və sandığı özü açır. İçində bir kart var, üstündə iki söz: «Kökü yoxdur». Bu da bir cavabdır. Sistemi həll etmək bəzən məhz kökün olmadığını göstərmək deməkdir. Bunu şəkildə də görmək olar. Keçən dərsdən bilirik ki, ikidəyişənli xətti tənliyin qrafiki düz xəttdir: tənliyin bütün kökləri bir düz xətt üzərində düzülür. Hər tənlikdə igreki ayrıca yazaq. Birincidə igrek səkkizdən iksi çıxmağa bərabərdir, ikincidə yeddidən iksi çıxmağa. Bucaq əmsalları eynidir, sərbəst əmsallar fərqlidir. Belə xətlər paraleldir və heç vaxt kəsişmir. Ortaq nöqtə yoxdursa, ortaq kök də yoxdur. Üçüncü sandığa keçirik. Birinci kart: «Birinci rəqəmə ikinci rəqəmin iki mislini əlavə etsən, on alınar.» İkinci kart: «Birinci rəqəmin üç mislinə ikinci rəqəmin altı mislini əlavə etsən, otuz alınar.» Bu dəfə Tural tələsmir və kartları yan-yana qoyur. İkinci kartdakı hər ədəd birinci kartdakı uyğun ədədin üç mislidir: bir əvəzinə üç, iki əvəzinə altı, on əvəzinə otuz. Yəni ikinci kart yeni heç nə demir. O, birinci kartın üçə vurulmuş formasıdır. Birini ödəyən cüt o birini də ödəyir. Bəs neçə kod uyğundur? Rəqəmlərlə beş cüt alınır, məsələn, iki və dörd, ya da altı və iki. Komanda onları bir-bir yığır. Qıfıl dördüncü cəhddə açılır. Amma riyaziyyat qıfıldan genişdir. Qıfıl yalnız rəqəmləri qəbul edir, tənlik isə istənilən ədədi. Məsələn, on iki və mənfi bir cütü də uyğundur: on ikiyə mənfi birin iki mislini, yəni mənfi ikini əlavə etsək, on alınır. Kəsr ədədlər də uyğundur. Belə cütlər sonsuz saydadır. Deməli, bu sistemin sonsuz sayda kökü var. Şəkildə bu nə deməkdir? İki tənliyin qrafiki eyni düz xəttdir, biri o birinin üstünə tam düşür. Riyaziyyatda deyirik: qrafiklər üst-üstə düşür. Xəttin hər nöqtəsi ortaq nöqtədir, ona görə də ortaq köklər sonsuz saydadır. İndi müəllimin əsas sirrinə gəlirik: köklərin sayını tənlikləri həll etmədən necə bilmək olar? Sirr uyğun əmsalların nisbətindədir. Nisbət, yəni bir ədədin o birinə bölünməsi. Birinci tənliyin hər ədədini ikinci tənliyin uyğun ədədinə bölürük: iksin əmsalını iksin əmsalına, igrekin əmsalını igrekin əmsalına, sərbəst həddi isə sərbəst həddə. Üç hal var. Əgər iksin və igrekin əmsallarının nisbətləri fərqlidirsə, sistemin yeganə kökü var, xətlər bir nöqtədə kəsişir. Əgər əmsalların nisbətləri eynidir, sərbəst hədlərin nisbəti isə fərqlidirsə, sistemin kökü yoxdur, xətlər paraleldir. Əgər hər üç nisbət eynidirsə, sistemin sonsuz sayda kökü var, xətlər üst-üstə düşür. Bu qaydanı birinci sandıqda yoxlayaq. İksin əmsalları iki və mənfi bir idi. İkini mənfi birə bölsək, mənfi iki alınır. İgrekin əmsalları bir və bir idi, nisbət birdir. Mənfi iki ilə bir fərqli ədədlərdir. Deməli, sistemin yeganə kökü var, xətlər bir nöqtədə kəsişir. O yeganə kök də dörd və yeddi cütüdür. İkinci sandıqda iksin əmsalları bir və iki, igrekin əmsalları da bir və iki idi: hər iki halda ikinci ədəd birincinin iki mislidir, nisbətlər eynidir. Sərbəst hədlər isə səkkiz və on dörd idi: on dörd səkkizin iki misli deyil. Deməli, kökü yoxdur. Üçüncü sandıqda isə hər üç cütdə ikinci ədəd birincinin üç misli idi. Hər üç nisbət eynidir: sonsuz sayda kök. Burada iki tələ var. Birincisi: ikinci və üçüncü sandıqlarda əmsallar eyni nisbətdə idi. Fərqi yalnız sərbəst hədlər yaratdı. Ona görə də əmsalların nisbəti eyni çıxanda dayanma, sərbəst hədləri də mütləq yoxla: bir halda kök yoxdur, o biri halda kök sonsuz saydadır. İkinci tələ işarədir. Mənfi bir əmsalını bir kimi götürsən, nisbət başqa çıxar və cavab dəyişə bilər. İndi özünü yoxla. Hər sualdan sonra kiçik bir fasilə olacaq, cavabı əvvəlcə özün de. Birinci sual. Bir kart deyir: rəqəmlərin cəmi beşdir. O biri kart deyir: rəqəmlərin cəminin dörd misli iyirmidir. Bu sistemin neçə kökü var? Cavab: sonsuz sayda. İkinci kartı dördə bölsək, yenə «cəmi beşdir» alınır. Hər üç nisbət eynidir, xətlər üst-üstə düşür. İkinci sual. Sistemin birinci tənliyi deyir: iks ilə igrekin cəmi on ikidir. İkinci tənlik deyir: iks ilə igrekin fərqi dörddür. Dörd və səkkiz cütü bu sistemin köküdürmü? Cavab: xeyr. Birinci tənliyi ödəyir, çünki dörd üstəgəl səkkiz on iki edir. Amma dörddən səkkizi çıxsaq, mənfi dörd alınır, dörd yox. Bir tənlik kifayət deyil. Səkkiz və dörd cütü isə köküdür: sıra vacibdir. Üçüncü sual. Birinci tənlikdə iksin əmsalı üç, igrekin əmsalı mənfi bir, sərbəst hədd dörddür. İkincidə iksin əmsalı altı, igrekin əmsalı mənfi iki, sərbəst hədd beşdir. Sistemin neçə kökü var? Cavab: kökü yoxdur. İkinci tənliyin əmsalları birincinin əmsallarının iki mislidir: üç və altı, mənfi bir və mənfi iki. Amma beş dördün iki misli deyil. Əmsalların nisbətləri eynidir, sərbəst hədlərin nisbəti fərqlidir: xətlər paraleldir. İndi kitabxanaya qayıdaq. Qıfıl karta uyğun kodu niyə rədd edirdi? Çünki beş və beş, altı və üç yalnız bir tənliyi ödəyirdi. Sistemin kökü hər iki tənliyi eyni zamanda ödəməlidir. Bəs kodu olmayan sandığı qıfılı fırlatmadan necə tanımaq olardı? Nisbətlərə baxmaqla: əmsallar eyni nisbətdə idi, sərbəst hədlər isə yox. Vaxt bitdi. Üç sandığın üçü də arxada qaldı: ikisini kod açdı, birini isə sübut. Bu dərsdən bir fikri yadda saxla. İki xətti tənlik sistem kimi birlikdə yazılanda köklərin sayı üç cür ola bilər: yeganə kök, kökün olmaması, ya da sonsuz sayda kök. Hansı olduğunu əvvəl əmsalların, sonra sərbəst hədlərin nisbəti deyir. Bu gün biz köklərin sayını təyin etdik, kökün özünü isə hazır cütləri yoxlayaraq tapdıq. Sistemin kökünü özün tapmağın yollarını, əvvəlcə qrafik üsulu, növbəti dərslərdə öyrənəcəksən. Nümunələri yazılı görmək istəsən, bu mövzunun oxu dərsinə də bax. Növbəti dərsdə görüşənədək!