İkidəyişənli xətti tənliklər sistemi

HTML dərsAzərbaycan

Dərsin mətni

2.40
7-ci sinif
Xətti tənliklər

Cəmi 6 olan ədəd cütləri sonsuz saydadır, fərqi 2 olanlar da. Bəs hər iki şərti eyni anda ödəyən cüt neçədir? Yalnız biri: (4; 2). İki tənliyi birlikdə yazanda sistem alınır.

Bu dərsdə

iki tənliyi sistem şəklində yazıb əmsalları və sərbəst hədləri işarəsi ilə tapacaqsan;
ədədlər cütünün sistemin kökü olub-olmadığını hər iki tənlikdə yoxlayacaqsan;
uyğun əmsalların nisbətinə görə sistemin neçə kökü olduğunu — bir, heç biri, sonsuz sayda — müəyyən edəcəksən.

x + y = 6 və x − y = 2 tənliklərinin ortaq kökü (4; 2)

Başla Yenidən Yenidən

Ortaq cüt
Sistem
Kök
Laboratoriya
Nisbətlər
Hesabla
y = kx + b
Parametr
Diqqət
Özünü yoxla

1 · Kəşf et

İki tənlik, bir ortaq cüt

Yadına sal: x + y = 6 kimi ikidəyişənli xətti tənliyin kökü bir ədəd deyil, ədədlər cütüdür, məsələn (1; 5) və ya (6; 0). Belə köklər sonsuz saydadır və qrafikdə bir düz xətt əmələ gətirir.

İndi ikinci tənliyi də götürək: x − y = 2. Eyni x üçün hər tənlikdən y-i hesablayaq və müqayisə edək:

Eyni x, iki tənlikdən iki y

x	2	3	4	5	6
x + y = 6 → y	4	3	2	1	0
x − y = 2 → y	0	1	2	3	4

Yalnız x = 4 olanda iki tənlik eyni y = 2 verir. Deməli, (4; 2) cütü hər iki tənliyi ödəyir: 4 + 2 = 6 və 4 − 2 = 2. Cədvəldə x artdıqca birinci sətirdə y azalır, ikincidə artır, ona görə başqa ortaq cüt yoxdur. İki tənliyin ortaq kökünü axtaranda onları birlikdə — sistem kimi yazırıq.

2 · Qayda

Sistem, əmsallar və sərbəst hədlər

Yadda saxla

İki və daha çox ikidəyişənli xətti tənliyin birlikdə yazılması ikidəyişənli xətti tənliklər sistemi əmələ gətirir. Qısaca xətti tənliklər sistemi deyirik. Tənliklər fiqurlu mötərizə ilə, alt-alta yazılır:

x + y = 6x − y = 2

Ümumi şəkildə: a₁x + b₁y = c₁a₂x + b₂y = c₂

a₁, b₁, a₂, b₂ — əmsallar, c₁ və c₂ — sərbəst hədlər, x və y — dəyişənlər.

Sistemin ümumi şəkli və hissələri

Kiçik rəqəm tənliyin nömrəsidir: 1 — birinci, 2 — ikinci tənlik. Bu rənglər dərs boyu belə qalır.

Nümunə 1Əmsalları və sərbəst hədləri yaz

4x − y = 32y + x = 8

Birinci tənlik artıq a₁x + b₁y = c₁ şəklindədir. İşarə əmsala daxildir: −y = (−1) · y, deməli a₁ = 4, b₁ = −1, c₁ = 3.
İkinci tənlikdə hədlərin yerini dəyişirik ki, x əvvəl gəlsin: x + 2y = 8. Yazılmayan əmsal 1-dir: x = 1 · x.
Deməli, a₂ = 1, b₂ = 2, c₂ = 8. a₁ = 4, b₁ = −1, c₁ = 3; a₂ = 1, b₂ = 2, c₂ = 8

Dəyişənlər başqa hərflərlə də işarə oluna bilər, məsələn m və n; qayda dəyişmir.

3 · Qayda

Sistemin kökü

Tərif

Sistemin hər iki tənliyini doğru bərabərliyə çevirən (x; y) ədədlər cütünə sistemin kökü deyilir.

Sistemi həll etmək — onun bütün köklərini tapmaq və ya kökünün olmadığını göstərmək deməkdir.

Cütü yoxlamaq üçün x-in yerinə cütün birinci ədədini, y-in yerinə ikinci ədədini yazırıq — əvvəl birinci tənlikdə, sonra ikincidə. Bir tənliyin ödənməsi kifayət deyil.

Nümunə 2Hansı cüt kökdür?

3x + 2y = 8x − 4y = −2 sistemi üçün (2; 1), (4; −2) və (1; 2) cütlərini yoxlayın.

(2; 1): 3 · 2 + 2 · 1 = 8 ✓; 2 − 4 · 1 = −2 ✓. Hər iki bərabərlik doğrudur — kökdür.
(4; −2): 3 · 4 + 2 · (−2) = 12 − 4 = 8 ✓, amma 4 − 4 · (−2) = 4 + 8 = 12, 12 ≠ −2 ✗. Yalnız birinci tənlik ödənir — kök deyil.
(1; 2): burada x = 1, y = 2: 3 · 1 + 2 · 2 = 7, 7 ≠ 8 ✗. Bu, (2; 1) cütünün ədədlərinin yeri dəyişmiş formasıdır — kök deyil. Kök: (2; 1)

Verilmiş cütü yoxlamaq asandır. Sistemin kökünü tapmaq üçün isə xüsusi üsullar var — qrafik, əvəzetmə və toplama üsulları; onları növbəti dərslərdə öyrənəcəksən. Bu dərsdə əvvəlcə başqa suala cavab verəcəyik: sistemin neçə kökü ola bilər?

4 · Laboratoriya

Neçə ortaq kök ola bilər?

Hər tənliyin qrafiki düz xəttdir. Sistemin kökü hər iki tənliyi ödədiyinə görə onun nöqtəsi hər iki xəttin üzərində yerləşir. Müstəvidə iki düz xətt isə ya kəsişir, ya paraleldir, ya da üst-üstə düşür.

Birinci tənlik eyni qalır: x + 2y = 6. İkinci tənliyi seç və əmsalların nisbətinə, sonra qrafiklərə bax.

İkinci tənlik

2x − y = 2 2x + 4y = 4 2x + 4y = 12

Sistemin iki tənliyinin qrafikləri

Başla Yenidən Yenidən

x + 2y = 62x − y = 2

a₁a₂ / = 12 / = 0,5, b₁b₂ / = 2−1 / = −2

0,5 ≠ −2: x və y əmsallarının nisbəti fərqlidir. Xətlər bir nöqtədə kəsişir — sistemin yeganə (bir) kökü var.

x + 2y = 62x + 4y = 4

a₁a₂ / = 12 / = 0,5, b₁b₂ / = 24 / = 0,5, c₁c₂ / = 64 / = 1,5

Əmsalların nisbəti eynidir, sərbəst hədlərinki fərqlidir. Xətlər paraleldir, ortaq nöqtə yoxdur — sistemin kökü yoxdur.

x + 2y = 62x + 4y = 12

a₁a₂ / = 12 / , b₁b₂ / = 24 / , c₁c₂ / = 612 / — hamısı 0,5

Bütün nisbətlər eynidir: ikinci tənlik birincinin 2-yə vurulmuş formasıdır. Xətlər üst-üstə düşür — sistemin sonsuz sayda kökü var.

Xətlər dəqiq qurulub: 1-ci xətt (0; 3) və (6; 0) nöqtələrindən keçir. Başla düyməsi qrafikləri ardıcıllıqla çəkir.

5 · Qayda

Köklərin sayı əmsalların nisbətindən

Laboratoriyada gördüyümüz üç hal bütün sistemlər üçün doğrudur. Qrafik çəkmədən də qərar vermək olar: uyğun əmsalları — x-in əmsallarını bir-biri ilə, y-in əmsallarını bir-biri ilə — bölüb müqayisə edirik.

Nisbətlər fərqlidir

a₁a₂ / ≠ b₁b₂ /

İki xətt bir nöqtədə kəsişir

Yeganə (bir) kök

Qrafiklər bir nöqtədə kəsişir.

Əmsallarınkı eyni, sərbəst hədlərinki fərqli

a₁a₂ / = b₁b₂ / ≠ c₁c₂ /

İki xətt paraleldir

Kökü yoxdur

Qrafiklər paraleldir.

Hamısı eyni

a₁a₂ / = b₁b₂ / = c₁c₂ /

İki xətt üst-üstə düşür

Sonsuz sayda kök

Qrafiklər üst-üstə düşür.

Niyə belədir? Bütün nisbətlər eyni ədədə bərabərdirsə, birinci tənlik ikincinin həmin ədədə vurulmuş formasıdır — əslində eyni tənlikdir, onun hər kökü sistemin köküdür.

Yalnız sol tərəflər mütənasibdirsə, tənliklər bir-birinə zidd olur. Məsələn, 2x + 4y = 4 tənliyinin hər iki tərəfini 2-yə bölsək, x + 2y = 2 alınır. Birinci tənlik isə x + 2y = 6 deyir. Eyni x + 2y ifadəsi eyni anda həm 6, həm 2 ola bilməz — kök yoxdur.

Nisbətləri yazmaq üçün ikinci tənliyin əmsalları və sərbəst həddi sıfırdan fərqli olmalıdır; bu dərsdəki bütün sistemlər belədir. Test tapşırıqlarında «kök» əvəzinə «həll» sözü də işlənir: «həlli yoxdur», «sonsuz sayda həlli var».

6 · Hesabla

Neçə kök var?

Hər dəfə eyni sıra: əvvəl x-in, sonra y-in əmsallarının nisbəti; onlar bərabər çıxanda sərbəst hədlərin nisbəti. Mənfi işarə kəsrin içində qalır.

Nümunə 3Fərqli nisbətlər

2x − 3y = 54x + y = 1

24 / = 0,5, −31 / = −3.
0,5 ≠ −3 — nisbətlər fərqlidir, sərbəst hədlərə baxmağa ehtiyac yoxdur. Yeganə kök; qrafiklər kəsişir

Nümunə 4Eyni nisbət, fərqli sərbəst hədd

3x − 6y = 2−x + 2y = 4

3−1 / = −3, −62 / = −3 — bərabərdir.
Sərbəst hədlər: 24 / = 0,5 və 0,5 ≠ −3. Kökü yoxdur; qrafiklər paraleldir

Nümunə 5Hamısı eyni

6x + 4y = −109x + 6y = −15

69 / = 23 / , 46 / = 23 / , −10−15 / = 23 / .
Yoxlama: birinci tənliyi 2-yə, ikincini 3-ə bölsək, hər ikisi 3x + 2y = −5 olur — eyni tənlik. Sonsuz sayda kök; qrafiklər üst-üstə düşür

7 · Başqa yol

y = kx + b şəklində müqayisə

Hər tənlikdə y-i x ilə ifadə edib y = kx + b şəklinə gətirmək də olar. Xətti funksiyalardan bilirsən: k fərqlidirsə qrafiklər kəsişir; k eyni, b fərqlidirsə paraleldir; həm k, həm b eynidirsə üst-üstə düşür.

Nümunə 6Eyni k

3x + y = 46x + 2y = 5

y = −3x + 4.
2y = −6x + 5, hər tərəfi 2-yə bölürük: y = −3x + 2,5.
k eynidir (−3), b fərqlidir (4 ≠ 2,5) — qrafiklər paraleldir. Kökü yoxdur

Nümunə 7Fərqli k

x − 2y = 23x + y = 6

−2y = −x + 2; hər iki tərəfi −2-yə bölürük: y = 0,5x − 1.
y = −3x + 6.
0,5 ≠ −3 — k fərqlidir, qrafiklər kəsişir. Yeganə kök

Nümunə 6-nı nisbətlərlə də yoxla: 36 / = 12 / = 0,5, 45 / = 0,8 — nəticə eynidir. İki yol həmişə eyni cavabı verir; hansı rahatdırsa, onu seç.

8 · Parametr

Hərfin hansı qiymətində?

Əmsallardan biri hərflə verilə bilər. Onda istənən hal üçün şərti yazırıq və hərfi tapırıq. Sonda sərbəst hədləri mütləq yoxlayırıq.

Nümunə 8Kökü olmasın

a-nın hansı qiymətində ax + 4y = 33x + 2y = 5 sisteminin kökü yoxdur?

Lazımdır: a3 / = 42 / ≠ 35 / .
42 / = 2, deməli a = 3 · 2 = 6.
Yoxlama: 35 / = 0,6 ≠ 2 — şərt ödənir. a = 6

Nümunə 9Sonsuz sayda kök olsun

b-nin hansı qiymətində 2x + by = 8x − 3y = 4 sisteminin sonsuz sayda kökü var?

Bütün nisbətlər eyni olmalıdır: 21 / = b−3 / = 84 / .
21 / = 2 və 84 / = 2 — bərabərdir. Qalır: b−3 / = 2, b = −6. b = −6

Nümunə 10Yeganə kök olsun

m-in hansı qiymətlərində mx + 6y = 12x + 3y = 7 sisteminin yeganə kökü var?

Yeganə kök üçün lazımdır: m2 / ≠ 63 / , yəni m2 / ≠ 2.
Bərabərlik yalnız m = 4 olanda alınır (onda kök yoxdur). Bu qiyməti çıxırıq — qalan bütün m uyğundur. m ≠ 4

9 · Diqqət

İki tipik səhv

«Bir tənlik kifayətdir»

5 + 1 = 6, deməli (5; 1) kökdür

x + y = 6x − y = 2 sistemində ikinci tənlik ödənmir: 5 − 1 = 4 ≠ 2.

Hər iki tənliyi yoxla

(4; 2): 6 = 6 və 2 = 2

Kök hər iki bərabərliyi doğru edir.

Sərbəst hədləri unutmaq

a = 6 olanda kökü yoxdur

ax + 2y = 63x + y = 3: a3 / = 21 / verir a = 6, amma onda sərbəst hədlərin nisbəti də 2-dir: 63 / = 2.

c-nin nisbətini də yoxla

heç bir qiymətində

a = 6 olanda üç nisbət də 2-dir — sonsuz sayda kök. «Kökü yoxdur» halı heç bir a üçün alınmır.

10 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

Asan Hansı cüt x + y = 7x − y = 1 sisteminin köküdür? Cavab variantları (3; 4) (5; 2) (4; 3) Düzdür! 4 + 3 = 7 və 4 − 3 = 1. Yox. Hər iki tənliyi yoxla, x — cütün birinci ədədidir. Həllə bax (4; 3): 4 + 3 = 7 ✓, 4 − 3 = 1 ✓. (3; 4) ikinci tənlikdə −1 verir, (5; 2) isə 3 verir — hər ikisi yalnız birinci tənliyi ödəyir.
Asan 5x − 3y = 2x + 4y = −7 sistemində b₁ nəyə bərabərdir? Cavab variantları 3 −3 2 Düzdür! İşarə əmsala daxildir. Yox. b₁ — birinci tənlikdə y-in əmsalıdır, işarəsi ilə birlikdə. Həllə bax 5x − 3y = 5x + (−3)y, deməli b₁ = −3. 2 isə sərbəst hədd c₁-dir.
Orta 2x − 5y = 36x − 15y = 9 sisteminin neçə kökü var? Cavab variantları kökü yoxdur sonsuz sayda yeganə kök Əla! Üç nisbət də 1/3-dir. Yox. Əmsallardan sonra sərbəst hədlərin nisbətini də hesabla. Həllə bax 2/6 = 1/3, (−5)/(−15) = 1/3, 3/9 = 1/3. Hamısı eynidir — ikinci tənlik birincinin 3-ə vurulmuş formasıdır, sonsuz sayda kök var.
Orta x − 3y = 2−2x + 6y = 5 sisteminin neçə kökü var? Cavab variantları yeganə kök sonsuz sayda kökü yoxdur Düzdür! Əmsalların nisbəti −0,5, sərbəst hədlərinki 0,4. Yox. Mənfi işarəni kəsrin içində saxla və c-ni də yoxla. Həllə bax 1/(−2) = −0,5 və (−3)/6 = −0,5 — bərabərdir; 2/5 = 0,4 ≠ −0,5. Qrafiklər paraleldir, kök yoxdur.
Çətin a-nın hansı qiymətində ax − 2y = 16x + 4y = 3 sisteminin kökü yoxdur? Cavab variantları 3 −3 −12 Əla! a/6 = −2/4 və c-nin nisbəti fərqlidir. Yox. y-in əmsallarını eyni sıra ilə böl: b₁/b₂ = (−2)/4, işarə ilə. Həllə bax a/6 = (−2)/4 = −0,5, deməli a = −3. Yoxlama: 1/3 ≠ −0,5 — kök yoxdur.
Çətin m-in hansı qiymətlərində mx + 2y = 54x − y = 3 sisteminin yeganə kökü var? Cavab variantları m ≠ −8 m = −8 m ≠ 8 Düzdür! −8 çıxarılan qiymətdir. Yox. Nisbətlər bərabər olan qiyməti tap və onu çıxar; 2/(−1)-in işarəsinə diqqət et. Həllə bax m/4 = 2/(−1) = −2 olanda m = −8 — onda kök yoxdur. Qalan bütün qiymətlərdə nisbətlər fərqlidir: m ≠ −8.

Xülasə

Yadda qalanlar

Kök = ortaq cüt(x; y) cütü hər iki tənliyi doğru bərabərliyə çevirməlidir.
a₁/a₂ ≠ b₁/b₂Bir kök, xətlər kəsişir. Bərabərdirsə, c₁/c₂-ni yoxla.
c-ni də yoxlac₁/c₂ fərqli — kök yoxdur (paralel); eyni — sonsuz sayda kök (üst-üstə).

Növbəti mövzu: 2.41 İkidəyişənli xətti tənliklər sisteminin qrafik üsulla həlli

Mənbə: «Riyaziyyat» — 7-ci sinif üçün dərslik, «8.1. İkidəyişənli xətti tənliklər sistemi», səh. 168–170 (tərif, ümumi şəkil, kök, əmsalların nisbəti cədvəli, y = kx + b qeydi). Test sözü «həll»: DİM «Test toplusu» 2023 və 2025, I hissə. Nümunələrdəki sistemlər və ədədlər bu dərs üçün seçilib.