Perpendikulyar və mail: ən qısa yol

Mətn (transkript)

Təsəvvür edin ki, geniş bir düzənlikdəsiniz. Qarşınızda iki magistral yol uzanır. Onlar yan-yana gedir və heç vaxt kəsişmir, yəni paraleldir. Qəbul imtahanlarına hazırlıq üçün test toplusunda belə bir məsələ var: bu iki yol arasındakı məsafə altı kilometrdir. İndi birinci yolun kənarında kiçik bir kənd düşünün. Kəndin sakinləri ikinci yola çıxmaq üçün yeni, düz bir yol çəkmək istəyirlər. Asfalt bahadır, ona görə yol mümkün qədər qısa olmalıdır. Sual belədir: yolu hansı istiqamətdə çəksinlər? Və belə ən qısa yol neçə dənədir: yalnız bir, yoxsa bir neçə? Salam! Bu dinləmə dərsində perpendikulyar və mail haqqında danışacağıq. Öyrənəcəyik ki, nöqtədən düz xəttə qədər məsafə nədir, mail nədir, onun proyeksiyası nədir və niyə ən qısa yol həmişə düz bucaq altında gedir. Kəndin sualına isə dərsin sonunda qayıdacağıq. Əvvəlcə ən sadə şəkildən başlayaq: iki düz xətt kəsişir. Kəsişmə nöqtəsinin ətrafında dörd bucaq yaranır və hamısının təpəsi həmin nöqtədədir. Dərslik deyir: bu bucaqlardan biri doxsan dərəcə olarsa, düz xətlər perpendikulyar düz xətlərdir. Bəs niyə bir bucaq kifayətdir? Çünki yan-yana duran iki qonşu bucaq birlikdə yüz səksən dərəcə edir. Biri doxsan dərəcədirsə, qonşusu da doxsan dərəcə olur, sonra növbəti də. Beləliklə, dörd bucağın dördü də düz bucaqdır. Bunu hər gün görürsünüz: dəftər vərəqinin küncündə, pəncərə çərçivəsində, artı işarəsinin iki xəttində. Riyaziyyatda perpendikulyarlıq üçün xüsusi işarə var. O, tərsinə çevrilmiş T hərfinə bənzəyir. İki düz xəttin adları arasına bu işarəni qoyanda belə oxunur: birinci düz xətt ikinciyə perpendikulyardır. İndi bir addım irəli gedək və düz xəttin yanına bir nöqtə əlavə edək. Gözünüzün önündə üfüqi bir düz xətt canlandırın və onu kiçik d hərfi ilə adlandırın. Bu xəttin yuxarısında, onun üzərində olmayan bir nöqtə qeyd edək: böyük A nöqtəsi. A nöqtəsindən aşağıya, d düz xəttinə doğru elə bir parça çəkək ki, xəttə düz bucaq altında dəysin. Dəydiyi nöqtəni H hərfi ilə işarə edək. A H parçası perpendikulyar adlanır. H nöqtəsi isə perpendikulyarın oturacağıdır. A H parçasının uzunluğunun da öz adı var. Bu, A nöqtəsindən d düz xəttinə qədər olan məsafədir. Yadda saxlayın: nöqtədən düz xəttə məsafə həmişə perpendikulyar boyunca ölçülür. Ona görə də «məsafə» sözünü eşidəndə gözünüzün önünə düz aşağı enən parça gəlsin. İndi A nöqtəsindən başqa bir parça çəkək, amma bu dəfə çəpinə. Bu parça d düz xəttini H nöqtəsindən bir qədər sağda, B nöqtəsində kəssin. Onun düz xətlə yaratdığı bucaq doxsan dərəcə deyil. Belə parçaya mail deyilir, B nöqtəsi isə mailin oturacağıdır. B nöqtəsində mail ilə düz xətt arasındakı bucağın da adı var: meyil bucağı. Diqqət edin: bir nöqtədən bir düz xəttə sonsuz sayda mail çəkmək olar, sağa da, sola da. Mailin bir kölgəsi də var. Təsəvvür edin ki, günorta günəşi düz başımızın üstündədir və işıq yerə dik düşür. Havada duran A nöqtəsinin kölgəsi düz onun altına, H nöqtəsinə düşür. Mailin yerdəki B ucu isə öz yerində qalır. Deməli, A B mailinin kölgəsi B ilə H arasındakı parçadır. Dərslik buna mailin proyeksiyası deyir: mailin oturacağı ilə perpendikulyarın oturacağını birləşdirən parça. Kölgə yalnız bir bənzətmədir və işıq düz xəttə dik düşəndə doğrudur. Burada tez-tez buraxılan bir səhv var. Bəziləri mailin özünü, yaxud mail ilə kölgəni birlikdə proyeksiya sayır. Bu, düz deyil. Proyeksiya həmişə düz xəttin üstündə yatır, yəni B H parçasıdır. Gəlin adları bir də sıralayaq. A H perpendikulyardır, H onun oturacağıdır. A B maildir, B onun oturacağıdır. B H isə mailin proyeksiyasıdır. İndi isə ən vacib müqayisəyə keçək: perpendikulyar uzundur, yoxsa mail? Dərslik açıq deyir: eyni nöqtədən düz xəttə çəkilmiş istənilən mail perpendikulyardan uzundur. Yəni A B parçası həmişə A H parçasından uzundur. Mail nə qədər dik dursa da, perpendikulyara bərabər ola bilməz. Bunu kağız üzərində özünüz yoxlaya bilərsiniz. Pərgarın iynəsini A nöqtəsinə qoyun, qələmli ucunu isə H nöqtəsinə qədər açın və çevrə çəkin. Görəcəksiniz ki, çevrə d düz xəttinə yalnız bir nöqtədə, H nöqtəsində toxunur. Düz xəttin qalan bütün nöqtələri çevrədən kənarda qalır, yəni A nöqtəsindən daha uzaqdadır. Deməli, A nöqtəsindən düz xəttə gedən ən qısa parça perpendikulyardır. Ona görə ən çox rast gəlinən səhv mail boyunca ölçüb onu məsafə adlandırmaqdır. Bir misal götürək. Masanın üstündə düzbucaqlı formalı bir vərəq uzanıb: uzunluğu doqquz santimetr, eni üç santimetr. Vərəqin yuxarı sol küncündən aşağı kənarına qədər məsafə nə qədərdir? Diaqonal maildir, ona görə uzundur və cavab deyil. Düzbucaqlının qonşu tərəfləri isə bir-birinə perpendikulyardır. Deməli, həmin küncdən aşağı kənara qədər məsafə elə sol tərəfin özüdür, yəni üç santimetr. İndi iki maili bir-biri ilə müqayisə edək. A nöqtəsindən uzunluqları bərabər olan iki mail çəkək. Biri H nöqtəsinin sağına, B nöqtəsinə enir. O biri H nöqtəsinin soluna, C nöqtəsinə enir. Sual belədir: onların kölgələri, yəni proyeksiyaları necə müqayisə olunur? Dərslik bunu ayrıca qayda kimi yazmır, amma gəlin səbəbini özümüz tapaq. Pərgarın iynəsini yenə A nöqtəsinə qoyaq, ucunu bu dəfə B nöqtəsinə qədər açaq və çevrə çəkək. A B və A C bərabər olduğu üçün hər ikisi bu çevrənin radiusudur. Deməli, çevrə d düz xəttini iki nöqtədə kəsir: sağda B nöqtəsində, solda C nöqtəsində. İndi vərəqi A H xətti boyunca qatlayaq. H nöqtəsində hər iki tərəfdə bucaq doxsan dərəcədir. Ona görə d düz xəttinin sağ yarısı düz sol yarısının üstünə düşür. Çevrə də öz üstünə düşür, çünki onun mərkəzi, A nöqtəsi, qat xəttinin üstündədir. Belə olanda düz xətt ilə çevrənin iki kəsişmə nöqtəsi yer dəyişir: B nöqtəsi C nöqtəsinin üstünə düşür. Deməli, B H və H C parçaları üst-üstə düşür, yəni bərabərdir. Nəticə belədir: bir nöqtədən çəkilmiş bərabər maillərin proyeksiyaları da bərabərdir. Bu, məsələlərdə çox işə yarayır. Məsələn, hər proyeksiya beş santimetrdirsə, iki mailin oturacaqları arasındakı məsafə on santimetrdir: H nöqtəsindən sağa beş, sola da beş. İki fərqli bərabər mailin oturacaqları H nöqtəsinin müxtəlif tərəflərində olur. Proyeksiyanı iki dəfə götürməyi unutmayın. Eyni çevrə daha bir sirri açır. d düz xəttinin B ilə C arasında qalan hər nöqtəsi çevrənin içindədir, yəni A nöqtəsinə daha yaxındır. B ilə C nöqtələrindən kənarda qalan hər nöqtə isə çevrədən kənardadır, yəni A nöqtəsindən daha uzaqdır. Bunu sadə sözlə belə deyə bilərik: proyeksiyası qısa olan mail qısadır, proyeksiyası uzun olan mail uzundur. Lap ortada, H nöqtəsində, heç proyeksiya qalmır. Orada ən qısa parça, perpendikulyar durur. Kiçik bir yoxlama edək. A nöqtəsindən iki mail çəkilib. Birinin proyeksiyası üç santimetr, o birinin proyeksiyası yeddi santimetrdir. Hansı mail uzundur? Proyeksiyası yeddi santimetr olan. Maillər H nöqtəsinin müxtəlif tərəflərində olsa belə, bu qayda dəyişmir, çünki qatlamaqla bir tərəfi o biri tərəfin üstünə gətirə bilərik. Son addım: bir nöqtədən neçə perpendikulyar çəkmək olar? Dərslikdə bir teorem var: istənilən nöqtədən verilmiş düz xəttə yalnız bir perpendikulyar düz xətt çəkmək mümkündür. Dərslik teoremin isbatını ayrıca, QR kodla verir. Amma onun səbəbini altıncı sinif biliyi ilə də başa düşmək olar. Tutaq ki, A nöqtəsindən d düz xəttinə iki perpendikulyar çəkmək mümkün oldu: biri H nöqtəsinə, o biri başqa bir K nöqtəsinə. Onda A, H və K nöqtələri bir üçbucaq yaradardı. Bu üçbucağın H və K təpələrindəki bucaqların hər biri doxsan dərəcə olardı. İkisi birlikdə artıq yüz səksən dərəcə edərdi. Amma üçbucağın üç bucağının cəmi elə yüz səksən dərəcədir, üçüncü bucağa heç nə qalmazdı. Belə üçbucaq ola bilməz. Deməli, ikinci perpendikulyar yoxdur. Burada bir tələ var. Tapşırıqlar toplusunda belə bir sual var: verilmiş düz xəttə neçə perpendikulyar düz xətt çəkmək olar? Cavab: sonsuz sayda! Çünki burada nöqtə verilməyib. Düz xəttin hər nöqtəsindən öz perpendikulyarı keçir. Teorem isə başqa şey deyir: verilmiş bir nöqtədən yalnız bir perpendikulyar. Bir nöqtədən sonsuz sayda mail çəkmək olar, amma perpendikulyar yalnız birdir. İndi düzənlikdəki iki yola qayıdaq. Kənd birinci yolun kənarında bir nöqtədir, ikinci yol isə bir düz xəttdir. Ən qısa yol ikinci yola düz bucaq altında, perpendikulyar boyunca gedir. Onun uzunluğu yollar arasındakı məsafədir, yəni altı kilometr. Çəpinə çəkilən istənilən yol maildir, ona görə altı kilometrdən uzundur. Bu kənddən belə ən qısa yol yalnız birdir, teorem bunu deyir. Amma qonşu kəndin də öz perpendikulyar yolu olacaq, çünki birinci yolun hər nöqtəsindən ikinci yola öz ən qısa yolu gedir. Yadda saxlamalı olduğumuz əsas fikir budur: nöqtədən düz xəttə ən qısa yol perpendikulyardır, onun uzunluğu məsafədir və istənilən mail ondan uzundur. Bərabər maillərin proyeksiyaları bərabərdir, proyeksiyası uzun olan mail isə uzundur. Çertyojları gözlə görmək istəsəniz, bu mövzunun oxu dərsinə baxın. Növbəti dərsdə parçanın orta perpendikulyarı ilə tanış olacağıq. Diqqətlə dinlədiyiniz üçün təşəkkür edirəm. Sağ olun!