Perpendikulyar və mail

• 2.13
• 7-ci sinif
• Həndəsə

Perpendikulyar və mail

Evdən yola neçə düz yol çəkmək olar? Sonsuz sayda. Amma ən qısası yalnız biridir: yolla 90° bucaq əmələ gətirən perpendikulyar.

Bu dərsdə

• şəkildə perpendikulyarı, maili, onların oturacaqlarını və proyeksiyanı tapacaqsan;
• nöqtədən düz xəttə məsafənin niyə perpendikulyarla ölçüldüyünü izah edəcəksən;
• mailləri proyeksiyalarına görə müqayisə edəcəksən.

• perpendikulyar
• mail
• proyeksiya

Perpendikulyarın qurulması

Başla Yenidən Yenidən

1. A mərkəzli pərgar qövsü a düz xəttini P və Q-da kəsir.
2. P və Q-dan eyni radiusla çəkilən qövslər A′-da kəsişir.
3. AA′ düz xətti a-nı H-da kəsir: AH ⊥ a. Üçbucaqlı xətkeş düz bucağı yoxlayır.

1. Ən qısa yol
2. Adlar
3. Müqayisə
4. Hesabla
5. Diqqət
6. Həyatda
7. Özünü yoxla
8. Yekun

1 · Kəşf et

Yola ən qısa yol hansıdır?

A nöqtəsində ev var, a düz xətti isə yoldur. Evdən yolun dörd nöqtəsinə düz yol çəkək. Nöqtəni seç və lövhəyə bax: hər xana 1 m-dir, altdakı cədvəl uzunluqları eyni miqyasla düzür.

Yolda nöqtə seç

K L H M

Evdən yola dörd yol

Lövhə 1Evdən yola dörd yol1 xana = 1 m

AK = 20 m. AK yolla 90° bucaq əmələ gətirmir. Dördünün ən uzunudur.

AL = 13 m. Daha qısadır, amma bucaq yenə 90° deyil.

AH = 12 m — ən qısa. Yalnız AH yolla 90° bucaq əmələ gətirir (H-dakı kvadrat işarəyə bax).

AM = 15 m. M nöqtəsi H-dan 9 m, L isə 5 m aralıdır, ona görə AM AL-dən uzundur.

Dörd yoldan yalnız 90° bucaqlı olan ən qısadır. Növbəti mərhələdə ona ad veririk.

2 · Qayda

Perpendikulyar, mail, proyeksiya

Yadda saxla

• İki düz xətt kəsişəndə bucaqlardan biri 90° olarsa, onlar perpendikulyardır: a ⊥ b.
• A nöqtəsindən a-ya 90° bucaq altında çəkilən AH parçası perpendikulyardır, H — perpendikulyarın oturacağıdır.
• AH-ın uzunluğu A nöqtəsindən a düz xəttinə qədər məsafədir.
• a-nı 90°-dən fərqli bucaq altında kəsən AB parçası maildir, B — mailin oturacağıdır, ∠ABH — meyil bucağıdır.
• İki oturacağı birləşdirən BH parçası AB mailinin a üzərindəki proyeksiyasıdır.

AH ⊥ a

Perpendikulyar, mail və proyeksiya

Lövhə 2Adlar və işarələrdərslik, Şəkil 1

Hər ad öz parçasının rəngindədir. Sağdakı ölçü xətti məsafəni göstərir: o, AH-ın uzunluğudur, AB-nin yox.

Teorem

İstənilən nöqtədən verilmiş düz xəttə yalnız bir perpendikulyar çəkmək olar.

Mail həmişə uzundur

AB > AH

Lövhə 1-də: 13, 15 və 20 m — hamısı 12 m-dən böyükdür.

Sonsuz sayda mail

A-dan a-ya sonsuz sayda mail çəkmək olar: a-nın H-dan başqa hər nöqtəsinə biri.

3 · Qayda

Mailləri necə müqayisə edək?

Eyni A, eyni yol — indi pərgarla. Pərgarın ucunu A-ya, o biri ucunu B-yə qoy və çevrə çək: onun bütün nöqtələri A-dan 13 m aralıdır. Çevrənin içindəki nöqtələr A-ya daha yaxın, kənardakılar daha uzaqdır.

Müqayisə et

AB və AB′ AB və AC AH və AB

Mailləri pərgar çevrəsi ilə müqayisə

Lövhə 3Pərgar və qatlama1 xana = 1 m

HB = HB′ = 5 m, deməli AB = AB′ = 13 m. Vərəqi AH boyunca qatla: a öz üzərinə düşür (90°), B ilə B′ üst-üstə gəlir — maillər də üst-üstə gəlir.

HC = 9 m > HB = 5 m, deməli AC = 15 m > AB = 13 m. C çevrədən kənardadır, ona görə A-dan daha uzaqdır.

AH = 12 m < AB = 13 m. H çevrənin içindədir: perpendikulyar istənilən maildən qısadır.

Qayda

Eyni nöqtədən bir düz xəttə çəkilmiş maillər üçün:

HB = HB′ ⇔ AB = AB′ HC > HB ⇔ AC > AB

Bərabər maillərin proyeksiyaları bərabərdir və tərsinə. Proyeksiyası böyük olan mail daha uzundur və tərsinə.

Niyə bərabər? Qatla

AH boyunca qatlayanda a özünə düşür, A yerində qalır. H-dan eyni məsafədə olan B və B′ üst-üstə gəlir, deməli AB və AB′ də.

Niyə uzun? Pərgarla

Çevrə a-nı yalnız B və B′-də kəsir. Onların arasındakı nöqtələr (H da) içəridədir, kənardakılar (C) xaricdədir.

4 · Hesabla

Lövhəyə baxıb həll edirik

Nümunə 1Bərabər maillər

A nöqtəsindən a düz xəttinə iki bərabər mail — AB və AC çəkilib. AB-nin proyeksiyası 7 sm-dir. Maillərin oturacaqları arasındakı məsafəni tapın.

Nümunə 1: iki bərabər mail

Lövhə 4Çərtiklər: AB = AC1 xana = 1 sm

1. Bərabər maillərin proyeksiyaları bərabərdir: HC = HB = 7 sm.
2. B və C H-ın iki tərəfindədir: bir tərəfdə pərgar çevrəsi a-nı yalnız bir nöqtədə kəsir.
3. BC = BH + HC = 7 + 7 = 14 sm. BC = 14 sm

Nümunə 2Sıraya düz

A-dan a-ya AH perpendikulyarı və AB, AC, AD mailləri çəkilib: HB = 4 sm, HC = 7 sm, HD = 4 sm (D H-ın o biri tərəfindədir). Dörd parçanı artan sırada düzün.

Nümunə 2: üç mail və perpendikulyar

Lövhə 5Proyeksiyalar oxda1,5 xana = 1 sm

1. Perpendikulyar ən qısadır: AH birincidir.
2. HB = HD = 4 sm, deməli AB = AD.
3. HC = 7 sm > 4 sm, deməli AC ən uzundur. AH < AB = AD < AC

Nümunə 3Düzbucaqlıda məsafə

Düzbucaqlı ABCD-nin AB tərəfi 2,5 sm-dir, BC tərəfi ondan 3 dəfə uzundur. B təpəsindən AD və CD tərəflərinə qədər məsafələri tapın.

Nümunə 3: düzbucaqlıda məsafə

Lövhə 6Tərəfin özü perpendikulyardır3 xana = 1 sm

1. Düzbucaqlının bütün bucaqları 90°-dir: BA ⊥ AD, BC ⊥ CD.
2. B-dən AD-yə perpendikulyar BA-nın özüdür: məsafə 2,5 sm.
3. B-dən CD-yə perpendikulyar BC-dir: BC = 3 · 2,5 = 7,5 sm. 2,5 sm və 7,5 sm

5 · Diqqət

İki tez-tez edilən səhv

Maili məsafə sanmaq

Səhv

məsafə = AL = 13 m

AL yolla 90° bucaq əmələ gətirmir — o, maildir.

Düz

məsafə = AH = 12 m

Məsafə yalnız perpendikulyarla ölçülür (Lövhə 1, H nöqtəsi).

«Düz xəttə yalnız bir perpendikulyar var»

Səhv

düz xəttə — 1 perpendikulyar

Düz xəttin hər nöqtəsindən ona bir perpendikulyar keçir: hamısı sonsuz saydadır.

Düz

verilmiş A nöqtəsindən — 1

Teorem nöqtə haqqındadır: A-dan a-ya yalnız AH çəkmək olar.

Düz xəttə sonsuz sayda perpendikulyar

Lövhə 7Çox perpendikulyar, A-dan biri

6 · Həyatda

Perpendikulyar hər gün

Perpendikulyar ən qısa yoldur və «düz duran» hər şeyin ölçüsüdür. Mail isə həmişə ondan uzundur.

Yolu keçmək

Lövhə 8Yolu keçmək

Zolaqlı keçid yolun kənarına perpendikulyardır: 12 m. Çəp keçid maildir: 15 m.

Şaqul

Lövhə 9Şaqul

Yük ipi dartır və ip yerə perpendikulyar olur. Dərslikdəki «ekker» də şaqulla düz bucaq qurur.

Nərdivan

Lövhə 10Nərdivan

Divar yerə perpendikulyardır. 5 m-lik nərdivanın ucu cəmi 4 m hündürlüyə çatır.

Kim nədir?

7 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç: düz olanda lime, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllə də baxa bilərsən.

1. Asan AH ⊥ a, AH = 8 sm, AB isə 10 sm-lik maildir. A nöqtəsindən a düz xəttinə qədər məsafə nə qədərdir? Sual 1 variantları 10 sm 8 sm 18 sm Düzdür! Məsafə perpendikulyarın uzunluğudur. Məsafə 90° bucaqlı parça ilə ölçülür. Hansı parça a-ya perpendikulyardır? Həllə bax AH ⊥ a, deməli məsafə AH = 8 sm. AB maildir və ondan uzundur.
2. Asan AH ⊥ a, AB isə maildir (B nöqtəsi a üzərindədir). BH parçası necə adlanır? Sual 2 variantları perpendikulyar AB-nin proyeksiyası mail Düzdür! BH iki oturacağı birləşdirir. BH a düz xəttinin üzərindədir və B ilə H oturacaqlarını birləşdirir. Həllə bax B mailin, H perpendikulyarın oturacağıdır. Onları birləşdirən BH parçası AB mailinin a üzərindəki proyeksiyasıdır.
3. Orta Nöqtədən düz xəttə iki bərabər mail çəkilib. Hər birinin proyeksiyası 6 sm-dir. Maillərin oturacaqları arasındakı məsafə nə qədərdir? Sual 3 variantları 6 sm 3 sm 12 sm Düzdür! 6 + 6 = 12 sm. Oturacaqlar H-ın iki tərəfindədir, hər tərəfdə 6 sm. Həllə bax Bərabər maillərin proyeksiyaları bərabərdir və H-ın iki tərəfində yerləşir (Lövhə 4): 6 + 6 = 12 sm.
4. Orta A-dan a-ya AH perpendikulyarı, AB və AC mailləri çəkilib: HB = 3 sm, HC = 5 sm. Hansı doğrudur? Sual 4 variantları AB > AC AB < AC AB = AC Düzdür! Proyeksiyası böyük olan mail uzundur. Proyeksiyaları müqayisə et: hansı mailin proyeksiyası böyükdür? Həllə bax HC = 5 sm > HB = 3 sm, deməli AC > AB, yəni AB < AC (Lövhə 3, «AB və AC»).
5. Çətin A-dan a-ya çəkilmiş perpendikulyar AH = 5 sm-dir. A-dan a-ya çəkilmiş mailin uzunluğu hansı ola bilər? Sual 5 variantları 4 sm 5 sm 7 sm Düzdür! Mail perpendikulyardan uzundur. İstənilən mail perpendikulyardan uzundur. 5 sm-lik parça isə AH-ın özü olardı. Həllə bax AB > AH = 5 sm, ona görə 4 sm və 5 sm olmur. A-dan a-ya uzunluğu 5 sm olan parça yalnız perpendikulyarın özüdür (teorem: o, yeganədir). Cavab 7 sm.
6. Çətin Düzbucaqlı ABCD-də AB = 8 sm, BC = 3 sm. C təpəsindən AB tərəfinə qədər məsafə nə qədərdir? Sual 6 variantları 8 sm 3 sm 11 sm Düzdür! CB ⊥ AB, deməli məsafə CB-dir. C-dən çıxan hansı tərəf AB ilə 90° bucaq əmələ gətirir? Həllə bax Düzbucaqlının bucaqları 90°-dir, CB ⊥ AB. Məsafə CB = 3 sm. CD isə AB-yə paraleldir, perpendikulyar deyil (Lövhə 6).

8 · Yekun

Üç nəticə

• Perpendikulyar ən qısadırNöqtədən düz xəttə məsafə AH-ın uzunluğudur; istənilən mail ondan uzundur.
• Bərabər maillər ⇔ bərabər proyeksiyalarAH boyunca qatla: B ilə B′ üst-üstə gəlir.
• Böyük proyeksiya ⇔ uzun mailPərgar çevrəsindən kənardakı nöqtələr A-dan daha uzaqdır.

Növbəti mövzu: 2.14 Parçanın orta perpendikulyarı — dərsin əvvəlindəki qurmanın niyə işlədiyini orada görəcəksən.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 7-ci sinif» (Şərq-Qərb), səh. 58–59: təriflər, a ⊥ b yazılışı, perpendikulyarın yeganəliyi haqqında teorem, AB > AH, Şəkil 1 və 4, çalışmalar 6, 8, 12. Maillərin müqayisəsi xassələri burada qatlama və pərgar çevrəsi ilə əsaslandırılır; dərslikdə ayrıca qayda kimi verilməyib. Bütün ədədlər (12, 13, 15, 20 m və s.) öyrətmək üçün seçilmişdir; lövhələr miqyasla çəkilib və etiketlər ölçülərlə uyğundur.