Rasional tənliklərlə məsələ həlli: alma bağında üç saat

Mətn (transkript)

Təsəvvür edin: oktyabrın günəşli bir günü, kənddə böyük alma bağı. Budaqlar qırmızı almadan aşağı əyilib, arılar vızıldayır, ağacların arasında taxta yeşiklər düzülüb. Səkkizinci sinif şagirdi Arzu və böyük qardaşı Rüstəm bağın sonuncu cərgəsini yığmalıdırlar. İndi saat ikidir. Almaları şirə zavoduna aparan yük maşını üç saatdan sonra, saat beşdə gələcək. Arzu səbətini yerə qoyub hesablayır. «Dünən gördük: sən bir cərgəni tək dörd saata yığırsan. Mən hələ yavaşam, mənə tək on iki saat lazımdır. Dördlə on ikinin ortası səkkizdir. Deməli, bu cərgəyə səkkiz saat gedəcək. Maşın gələndə iş yarımçıq qalacaq.» Rüstəm gülümsəyir və nərdivana çıxır. «İkimiz birlikdə bu cərgəni düz üç saata yığacağıq. Maşın gələndə sonuncu yeşik də bağlanacaq.» Kim haqlıdır? İki vaxtın ortasını götürmək niyə səhvdir? Və Rüstəm üç saatı haradan bildi? Bu suallara bu gün tənliklərin köməyi ilə cavab verəcəyik. Salam! Bu, rasional tənliklərin tətbiqi ilə məsələ həlli dərsidir. Rasional tənlikləri həll etməyi artıq bilirsiniz. Bu gün başqa bir bacarıq öyrənəcəyik: həyatdan gələn hekayəni tənliyə çevirmək. Əvvəlcə iş məsələlərinin dilini öyrənəcəyik. Sonra bir məsələdən addım-addım tənlik quracağıq. Üçüncü fəsildə çaya düşəcəyik: axın istiqamətində və axına qarşı. Sonda kiçik bir oyun oynayacağıq. Birinci fəsil: işi saatlara bölmək. Bütün cərgəni bir bütöv iş kimi düşünək. Rüstəm bu işi dörd saata görür. Deməli, hər saatda işin dörddə birini görür. Bir saatda — işin dörddə biri. Arzu isə eyni işi on iki saata görür. Arzunun bir saatlıq payı işin on ikidə biridir. Bir saatda — işin on ikidə biri. İndi sizə sual. Bacı ilə qardaş yan-yana işləyəndə bir saatda işin hansı hissəsi bitir? Dörddə bir ilə on ikidə birin cəmini tapın. Bir az fikirləşin. Dörddə bir on ikidə üçə bərabərdir. On ikidə üç ilə on ikidə birin cəmi on ikidə dörddür. On ikidə dörd isə üçdə birdir. Deməli, ikisi birlikdə bir saatda işin üçdə birini görür. Bir saatda — işin üçdə biri. İki saatda — üçdə ikisi. Üç saatda — bütün iş. Rüstəm haqlı idi: düz üç saat. Arzunun səhvi harada idi? Vaxtları toplamaq və ya ortalamaq səhv yoldur. Toplanan şey bir saatlıq paylardır. Bir sağlam düşüncə yoxlaması da var. Rüstəm tək işləyəndə dörd saata qurtarır. Kömək alanda isə daha tez qurtarmalıdır. Deməli, birgə vaxt dörd saatdan az olmalıdır. Arzunun səkkiz saatı Rüstəmin tək vaxtından iki dəfə çoxdur. Üç saat isə dörddən azdır, bu cavab inandırıcıdır. İkinci fəsil: hekayədən tənliyə. Yük maşını almaları şirə zavoduna aparır. Zavodda iki pres var: yeni pres və köhnə pres. İki pres birlikdə bir partiya almanı doqquz saata sıxır. Köhnə pres tək işləsə, bu işə yenisindən iyirmi dörd saat çox vaxt sərf edər. Sual belədir: hər pres tək işləsə, bu işi nə qədər vaxta görər? Dərslik belə məsələlər üçün aydın bir plan verir. Birinci addım: məchulu seçirik. Yeni presin tək işlədiyi vaxtı iks saat adlandıraq. İkinci addım: qalan kəmiyyətləri iks ilə ifadə edirik. Köhnə presin vaxtı iks ilə iyirmi dördün cəmidir. İndi bir saatlıq paylar. Yeni pres bir saatda işin bu hissəsini görür: bir bölünsün iksə. Köhnə pres bir saatda işin daha kiçik hissəsini görür: bir bölünsün iks ilə iyirmi dördün cəminə. Üçüncü addım: şərtdən tənlik qururuq. İki pres birlikdə doqquz saata işləyir. Deməli, birlikdə bir saatda işin doqquzda birini görürlər. Yeni presin bir saatlıq payı ilə köhnə presin bir saatlıq payının cəmi doqquzda birə bərabərdir. Məchul kəsrlərin məxrəcindədir, buna görə bu, rasional tənlikdir. Dördüncü addım: dəyişənin mümkün qiymətləri. Məxrəclər sıfırdan fərqli olmalıdır. Deməli, iks sıfırdan fərqlidir, mənfi iyirmi dörddən də fərqlidir. Sonra tənliyi həll edirik. Ortaq məxrəcə vurub sadələşdirəndə tanış kvadrat tənlik alınır. Bu tənliyin iki kökü var: on iki və mənfi on səkkiz. Hansı kök qalır? Hər kökə iki sual veririk. Birinci sual: kök məxrəci sıfıra çevirirmi? İkinci sual: hekayədə bu ədədin mənası varmı? Bir az fikirləşin. Mənfi on səkkiz birinci sualdan keçir: o, sıfırdan da, mənfi iyirmi dörddən də fərqlidir. Amma ikinci sualda dayanır. Bu, presin işlədiyi vaxtdır, vaxt isə həmişə müsbətdir. Buna görə mənfi on səkkizi atırıq. Qalır on iki. Yeni pres tək işləsə, işi on iki saata görər. Köhnə pres isə otuz altı saata. Yoxlayaq. On ikidə bir otuz altıda üçdür. Otuz altıda üç ilə otuz altıda birin cəmi otuz altıda dörddür. Bu da doqquzda birdir. Hər şey uyğun gəlir. Planın hamısı bir cümlədə belədir: məchulu seç, qalanını onunla ifadə et, şərtdən tənlik qur, mümkün qiymətləri tap, həll et, hər kökü yoxla, cavabı yaz. Ən vacib addım sonuncu yoxlamadır. Hər kökə iki sual: riyaziyyat icazə verirmi? Həyat icazə verirmi? Üçüncü fəsil: çay. Rüstəm avarçəkmə ilə məşğul olur. Bazar günü o, kayakla çayda məşq edir. Çayın axın sürəti saatda iki kilometrdir. Rüstəm axın istiqamətində otuz üç kilometr üzür və körpüyə çatır. Sonra geri dönür, axına qarşı yeddi kilometr üzür və dayanacağa çatır. Hər iki hissə birlikdə dörd saat çəkir. Rüstəmin durğun sudakı sürəti nə qədərdir? Durğun sudakı sürəti iks adlandıraq. Axın istiqamətində çay ona kömək edir, sürət iks ilə ikinin cəmidir. Axına qarşı isə çay onu geri itələyir, sürət iks ilə ikinin fərqidir. Vaxt yolun sürətə bölünməsidir. Aşağı axın vaxtı: otuz üç bölünsün iks ilə ikinin cəminə. Yuxarı axın vaxtı: yeddi bölünsün iks ilə ikinin fərqinə. Bu iki vaxtın cəmi dörd saata bərabərdir. Budur, yenə rasional tənlik. Məxrəclər sıfırdan fərqli olmalıdır, buna görə iks ikidən və mənfi ikidən fərqlidir. Tənliyi həll edəndə yenə kvadrat tənlik alınır və iki kök çıxır: doqquz və bir. Bu dəfə hər iki kök müsbətdir. Hər ikisi mümkün qiymətlərin içindədir. Hansı kök Rüstəmin sürətidir? Fikirləşin. Bir kökü atırıq. Durğun suda sürət saatda bir kilometr olsaydı, axına qarşı üzəndə çay kayakı saatda bir kilometr geri aparardı. Kayak dayanacağa yaxınlaşmaq əvəzinə ondan uzaqlaşardı. Maraqlıdır ki, kağız üzərində tənlik bu kökə də razıdır. Aşağı axın vaxtı on bir saat alınır, yuxarı axın vaxtı isə mənfi yeddi saat. Cəmi dörd edir, amma mənfi yeddi saat həyatda mənasızdır. Dərslik bu şərti belə deyir: durğun sudakı sürət çayın axın sürətindən böyük olmalıdır. Cavab: Rüstəmin durğun sudakı sürəti doqquzdur. O, durğun suda bir saatda doqquz kilometr üzür. Yoxlayaq. Aşağı axında sürət saatda on bir kilometrdir, otuz üç kilometr üç saat çəkir. Yuxarı axında sürət saatda yeddi kilometrdir, yeddi kilometr bir saat çəkir. Üç saat ilə bir saatın cəmi dörd saatdır. Dördüncü fəsil: «Hansı kök qalır?» oyunu. Mən tənliyin köklərini deyirəm, siz hansının qaldığını seçirsiniz. Birinci vəziyyət. Dərnəkdəki şagirdlərin sayı üçün tənlik iki kök verdi: iyirmi və yeddi yarım. İkinci vəziyyət. Bir turistin sürəti üçün tənlik iki kök verdi: beş və mənfi altı. Fikirləşin. Birinci vəziyyətdə iyirmi qalır. Şagirdlərin sayı natural ədəddir, yeddi yarım şagird mənasızdır. İkinci vəziyyətdə beş qalır. Sürət müsbətdir, turist saatda beş kilometr gedir. Üçüncü vəziyyət daha hiyləgərdir. İki usta bir işi görür. İkinci usta bu işi birincidən on beş saat tez qurtarır. Birinci ustanın vaxtı üçün tənlik iki kök verdi: otuz və beş. Hər iki kök müsbətdir. Hansı qalır? Fikirləşin. Otuz qalır. Birinci usta beş saata işləsəydi, ikinci usta ondan on beş saat tez qurtarmalı idi. Beşdən on beş saat az vaxt isə mənfi on saat deməkdir. Kök müsbət idi, amma başqa bir kəmiyyəti mənfi etdi. Deməli, birinci usta işi otuz saata, ikinci usta on beş saata görür. Gəlin bağa qayıdaq. Saat beşdir. Yolun başından yük maşınının səsi gəlir. Arzu son almanı yeşiyə qoyur, Rüstəm qapağı bağlayır. Düz üç saat keçib. Arzu artıq səbəbi bilir. Rüstəm bir saatda cərgənin dörddə birini yığırdı, Arzu on ikidə birini. Birlikdə bir saatda üçdə biri bitirdi. Toplanan şey bir saatlıq paylardır. Səkkiz saat isə Rüstəmin tək vaxtından da çox idi, belə cavab mənasız idi. Bu dərsdən bir fikri yadda saxlayın. Hekayəni tənliyə çevirəndə bir saatlıq payları və ya vaxtları sözlə ifadə edin, sonra tənliyi qurun. Kökləri tapandan sonra hər birinə iki sual verin: riyaziyyat icazə verirmi, həyat icazə verirmi? Faiz və məhlul məsələləri oxu dərsində və videoda sizi gözləyir. Düşünmək üçün bir sual: sabah bacı ilə qardaşa ataları da kömək edəcək. Atası tək bir cərgəni altı saata yığır. Üçü birlikdə bir cərgəni nə qədər vaxta yığarlar? İpucu: hər üç nəfərin bir saatlıq payını toplayın. Növbəti dərsdə görüşənədək!