Rasional ifadələr: Nərminin hovuzu

Mətn (transkript)

Təsəvvür edin: iyulun isti bir günü, kənd, babanın bağı. Ağaclarda cırcıramalar səs-səsə verib. Səkkizinci sinifdə oxuyan Nərmin babası ilə birlikdə bağda böyük bir hovuz qurub. Hovuz üç min litr su tutur. Babası quyudan nasosla su çəkib hovuzu doldurmaq istəyir. Amma bir problem var. Hovuzun dibindəki tıxac çatlayıb, və oradan hər dəqiqə iyirmi altı litr su axıb gedir. Babası deyir: «Eybi yoxdur, hesablayaq. Nasos dəqiqədə yetmiş altı litr su verir. Ondan iyirmi altı litri axıb gedir. Deməli, hər dəqiqə hovuzda əlli litr su qalır. Üç mini əlliyə bölürük: altmış dəqiqə. Hovuz düz bir saata dolacaq.» Babası nasosu işə salır. Su şırıltı ilə hovuza tökülür. Və doğrudan da, bir saat sonra hovuz ağzına qədər doludur. Ertəsi gün səhər hovuz yenə boş idi: gecə su çatlamış tıxacdan axıb getmişdi. Bu dəfə quyuda su azalmışdı, və nasos zəif işləyirdi: dəqiqədə cəmi iyirmi altı litr. Nərmin gözlədi. Bir saat keçdi, iki saat keçdi. Su axırdı, amma hovuzdakı su səviyyəsi yerindən tərpənmirdi. Nərmin babasının hesabını təkrarladı: iyirmi altıdan iyirmi altını çıxırıq, sıfır qalır. Deməli, üç mini sıfıra bölmək lazımdır. Nərmin həyəcanla dedi: «Baba, sənin hesabın xarab oldu! Cavab çıxmır!» Babası gülümsədi: «Hesab xarab olmayıb, qızım. Nə qədər su gəlirsə, o qədər də axıb gedir. Hovuz heç vaxt dolmayacaq. Hesab da sənə məhz bunu deyir: burada cavab yoxdur.» Bəs bir hesab necə «cavab yoxdur» deyə bilər? Hansı ədədləri belə bir hesaba qoymaq olar, hansıları olmaz? Və babanın hesabı əslində necə bir ifadədir? Bu suallara bu günkü dərsimizdə cavab tapacağıq. Salam, əziz dinləyici! Bu gün səkkizinci sinif riyaziyyatında yeni bir bölməyə başlayırıq: rasional ifadələr. Dərslik yazır ki, belə ifadələrlə iqtisadiyyatda, tibbdə, nəqliyyatda, kosmik tədqiqatlarda, işıqlandırmada və akustikada qarşılaşırıq. Bu gün rasional ifadənin nə olduğunu, onun qiymətini necə hesabladığımızı, dəyişənə hansı qiymətləri vermək olmadığını və kəsrin nə vaxt sıfıra bərabər olduğunu öyrənəcəyik. Əvvəlcə babanın hesabını ifadəyə çevirək. Tutaq ki, nasos dəqiqədə iks litr su verir. Hər dəqiqə iyirmi altı litr axıb gedir, deməli, hovuzda hər dəqiqə iks çıx iyirmi altı litr su qalır. Doldurma vaxtını tapmaq üçün üç mini bu fərqə bölürük. Alınan ifadə bir kəsrdir: onun surəti üç min, məxrəci isə iks çıx iyirmi altıdır. Diqqət edin: çıxma əməli bütövlükdə məxrəcdədir. Əvvəlcə fərqi tapırıq, sonra üç mini ona bölürük. İndi tanış bir şeyi xatırlayaq. Çoxhədliləri toplasaq, çıxsaq və ya vursaq, yenə çoxhədli alınır. Bəs bir çoxhədlini digərinə bölsək? Nəticə həmişə çoxhədli olmur. Babanın kəsrinə baxın. Çoxhədli dəyişənin istənilən qiymətində mənalıdır, yəni onun həmişə qiyməti var. Babanın kəsrinin isə iks iyirmi altı olanda qiyməti yoxdur. Deməli, onu heç bir çoxhədli ilə əvəz etmək olmaz. Belə ifadələrə yeni ad lazımdır. Dərslik bu adı belə verir: «İki çoxhədlinin nisbətinə rasional ifadə deyilir.» Babanın kəsrində surət üç mindir, adi bir ədəd. Ədəd də çoxhədlidir. Məxrəc iks çıx iyirmi altıdır, bu da çoxhədlidir. Deməli, babanın kəsri rasional ifadədir. Surəti və məxrəci çoxhədli olan belə kəsrlərə rasional cəbri kəsrlər də deyilir. Maraqlıdır ki, hər çoxhədli də rasional ifadədir: onu məxrəci bir olan kəsr kimi yazmaq olar. Bəs məxrəcdə ədəd olanda nə olur? Məsələn, surəti iks üstəgəl yeddi, məxrəci iki olan kəsr. Bu, sadəcə iks üstəgəl yeddinin yarısıdır. Ədədə bölmək həmin ədədin tərsinə vurmaq deməkdir, ona görə bu kəsr çoxhədlidir və iksin istənilən qiymətində mənalıdır. Dərslik ifadələri belə ayırır: bir tərəfdə çoxhədlilər, digər tərəfdə məxrəcində dəyişən olan kəsrlər. Bəzi kitablarda bunlara tam və kəsr rasional ifadə də deyilir, amma bizim dərslik çoxhədli və məxrəcində dəyişən olan kəsr sözlərini işlədir. İndi rasional ifadənin qiymətinə keçək. İfadənin qiyməti dəyişənin qiymətindən asılıdır. Qiyməti tapmaq üçün dəyişənin yerinə ədədi qoyuruq, surəti və məxrəci ayrı-ayrılıqda hesablayırıq, sonra surəti məxrəcə bölürük. Babanın birinci günü elə belə idi: iks yetmiş altı olanda məxrəc əlli, kəsrin qiyməti isə altmış oldu. Altmış dəqiqə, yəni bir saat. İndi sıra sizdədir. Tutaq ki, babası nasosu daha güclüsü ilə əvəz etdi, və yeni nasos dəqiqədə səksən altı litr su verir. Tıxac hələ də çatlaqdır. Hovuz neçə dəqiqəyə dolar? Bir az fikirləşin. Məxrəci tapaq: səksən altıdan iyirmi altını çıxırıq, altmış qalır. İndi üç mini altmışa bölürük: əlli. Hovuz əlli dəqiqəyə dolar. Nasos güclənəndə məxrəc böyüyür, kəsrin qiyməti isə kiçilir: hovuz daha tez dolur. Bəs nasos iyirmi altı litrdən də az versə? Məsələn, dəqiqədə iyirmi iki litr. Onda məxrəc mənfi dörd olur, kəsrin qiyməti isə mənfi yeddi yüz əlli. İfadənin qiyməti var, yəni ifadə mənalıdır. Amma hovuz üçün mənfi vaxt mənasızdır: su artmır, azalır. Deməli, ifadənin öz qadağası var, vəziyyətin isə öz şərtləri. Hovuz məsələsində nasos iyirmi altı litrdən çox su verməlidir, amma bu, ifadənin yox, vəziyyətin şərtidir. İndi dərsin ən vacib sualına gəlirik: dəyişənə hansı qiyməti vermək olmaz? Çoxhədliyə istənilən ədədi qoymaq olar. Məxrəcində dəyişən olan kəsrdə isə bir qadağa var. Dərslik onu nida ilə yazır: «Sıfıra bölmək olmaz!» Niyə? Üç mini sıfıra bölmək, sıfıra vuranda üç min verən ədədi tapmaq deməkdir. Amma istənilən ədədi sıfıra vursaq, sıfır alınır. Belə ədəd yoxdur. Dəyişənin ifadəni mənalı edən qiymətlərinə dəyişənin mümkün qiymətləri deyilir, qısaca DMQ. Babanın kəsrində məxrəc iks çıx iyirmi altıdır. O, iks iyirmi altı olanda sıfır olur. Deməli, mümkün qiymətlər belə yazılır: iks iyirmi altıya bərabər deyil. Nərminin ikinci günü məhz bu qadağan qiymətə düşmüşdü. Qadağan qiymətləri belə tapırıq: məxrəci sıfıra bərabər edirik, alınan tənliyi həll edirik və tapılan ədədləri çıxarırıq. Məsələn, surəti yeddi, məxrəci iks kvadrat üstəgəl otuz üç iks olan kəsr. Məxrəci iki vuruğun hasili kimi yazaq: birinci vuruq iks, ikinci vuruq iks üstəgəl otuz üç. Hasil sıfırdırsa, vuruqlardan biri sıfırdır. Ya iks sıfırdır, ya da iks üstəgəl otuz üç sıfırdır, yəni iks mənfi otuz üçdür. Deməli, iks sıfıra bərabər deyil və iks mənfi otuz üçə bərabər deyil. Burada iki tipik səhv olur. Birincisi: tənliyi iksə bölmək. Tənliyi iksə bölmək olmaz, çünki iksin özü sıfır ola bilər, və onda sıfır cavabı itir. İkincisi: işarəni səhv salmaq. Mötərizədə üstəgəl otuz üç var, amma onu sıfır edən ədəd müsbət deyil, mənfi otuz üçdür. Bəzən məxrəc heç vaxt sıfır olmur. Məsələn, surəti iks, məxrəci iks kvadrat üstəgəl dörd olan kəsr. Ədədin kvadratı heç vaxt mənfi olmur. Ona dörd əlavə edəndə ən azı dörd alınır. Bu məxrəc sıfır ola bilməz, ona görə belə kəsr iksin istənilən qiymətində mənalıdır. İfadədə iki dəyişən də ola bilər. Tutaq ki, hovuzun həcmi də dəyişəndir. Onda doldurma vaxtı surəti hovuzun həcmi, məxrəci iks çıx iyirmi altı olan kəsrdir. Həcm surətdədir, ona heç bir qadağa yoxdur. Qadağa yalnız məxrəcdəki dəyişənə aiddir: iks yenə iyirmi altıya bərabər ola bilməz. Qiyməti tapmaq üçün hər iki dəyişənin yerinə ədəd qoyuruq. Məsələn, həcm iki min yeddi yüz litr, nasos isə dəqiqədə yetmiş altı litr verirsə, məxrəc əlli olur, vaxt isə əlli dörd dəqiqə. Bəzən hər iki dəyişən məxrəcdə olur. Onda qadağa bir ədəd yox, dəyişənlər arasında bir əlaqə olur. Məsələn, məxrəci iks çıx üç igrek olan kəsrdə iks igrekin üç mislinə bərabər ola bilməz. Deyək ki, igrek ikidir: onda iks altı ola bilməz. Son sual: kəsr nə vaxt sıfıra bərabərdir? Əvvəlcə babanın kəsrinə baxaq. Onun surəti üç mindir və heç vaxt sıfır olmur. Ona görə doldurma vaxtı da heç vaxt sıfır olmur, bu da məntiqlidir: hovuz bir anda dolmur. Kəsr yalnız surəti sıfır olanda sıfıra bərabər olur. Amma bir şərtlə: həmin qiymətdə məxrəc sıfır olmamalıdır. Bir nümunə. Kəsrin surəti iks kvadrat çıx qırx bir iksdir. Məxrəci isə iks çıx qırx birdir. Bu kəsr iksin hansı qiymətində sıfıra bərabərdir? Bir anlıq fikirləşin. Surəti iki vuruğun hasili kimi yazaq: birinci vuruq iks, ikinci vuruq iks çıx qırx bir. Surət iks sıfır olanda və iks qırx bir olanda sıfır olur. Amma iks qırx bir olanda məxrəc də sıfırdır, və kəsrin heç qiyməti yoxdur. Ona görə qırx bir cavab deyil. Yeganə cavab: iks sıfırdır. Yoxlayaq: surət sıfır, məxrəc mənfi qırx bir. Sıfırı mənfi qırx birə bölsək, sıfır alınır. Tipik səhv hər iki ədədi cavab yazmaqdır. Məxrəci həmişə yoxlamaq lazımdır. Gəlin bağa qayıdaq. Axşam düşüb, bağ sakitləşib. Babası çatlamış tıxacı təzəsi ilə əvəz edir. Nərmin isə indi hər şeyi başa düşür. Babanın hesabı rasional ifadə idi: surəti üç min, məxrəci iks çıx iyirmi altı. Nasos iyirmi altı litr verəndə məxrəc sıfır olurdu, və ifadənin qiyməti yox idi. Bu, hesabın xətası deyildi. Bu, hovuzun həqiqəti idi: nə qədər su gəlirdisə, o qədər də gedirdi, və su səviyyəsi yerində dururdu. İfadənin «cavab yoxdur» deməsi də bir cavabdır. Bu dərsdən bir fikri yadda saxlayın: rasional ifadə iki çoxhədlinin nisbətidir, və onun məxrəcini sıfır edən qiymətlər qadağandır. Kəsr isə yalnız surəti sıfır, məxrəci sıfırdan fərqli olanda sıfıra bərabərdir. Addım-addım nümunələri oxu dərsində və videoda tapa bilərsiniz. Növbəti dəfə bir hesab «cavab yoxdur» desə, tələsməyin: əvvəlcə məxrəcə baxın. Sağ olun, növbəti dərsdə görüşənədək!