Hesabi kvadrat kökün xassələri: kvest otağının kilidləri

Mətn (transkript)

Təsəvvür edin: şənbə günüdür, şəhərin mərkəzində kiçik bir kvest otağı. Bu oyunda sizi bağlı otağa buraxırlar və çıxmaq üçün tapmacaları bir-bir həll etməlisiniz. Səbinə ilə əmisi oğlu Fərid içəri girir. Otaq köhnə gəmi kayutu kimi bəzədilib. Divardakı dinamikdən dalğa səsi gəlir, tavandan fənər asılıb, taxta döşəmə ayaq altında cırıldayır. Arxalarında qapı bağlanır. Telefonları girişdə qalıb, yəni kalkulyator da yoxdur. Masanın üstündə taxta sandıq var, sandığın üstündə isə rəqəmli kilid. Qapağa kart yapışdırılıb: «Kod üç ədədin hasilinin kvadrat köküdür.» Birinci ədəd on altıdır, ikincisi yüz doxsan altı, üçüncüsü iyirmi beş. Fərid dərhal vurmağa başlayır. Pıçıldayır, barmaqları ilə sayır və nəhayət deyir: «Hasil yetmiş səkkiz min dörd yüzdür. İndi bunun kökünü necə tapım?» Səbinə isə çıxış qapısına yaxınlaşır. Orada da kart var: «Son kod mənfi iyirmi üç ədədinin kvadratının kvadrat köküdür.» Kilidin yalnız rəqəm düymələri var, mənfi işarəsi üçün düymə yoxdur. Fərid başını yelləyir: «Bu kilid səhv düzəldilib. Cavab mənfi iyirmi üçdür, mənfini hara yazaq?» Səbinə gülümsəyir: «Tələsmə. Hər iki tapmacanın qısa yolu var.» Hansı yol? Və kilid doğrudanmı səhvdir? Salam, STUWIN-in dinləmə dərsinə xoş gəlmisiniz! Bu gün hesabi kvadrat kökün xassələrini öyrənəcəyik: hasilin kökünü, nisbətin kökünü və kvadratın kökünü. Əvvəlcə bir şeyi xatırlayaq. Ədədin hesabi kvadrat kökü elə mənfi olmayan ədəddir ki, onun kvadratı həmin ədədə bərabərdir. Kök işarəsi həmişə məhz bu mənfi olmayan kökü göstərir. Kiçik bir təcrübədən başlayaq. Otuz altını dördə vuraq və hasildən kök alaq. Otuz altını dördə vuranda yüz qırx dörd alınır. Yüz qırx dördün kökü on ikidir. İndi başqa yolla gedək: əvvəlcə hər vuruqdan ayrıca kök alaq. Otuz altının kökü altıdır, dördün kökü ikidir. Altını ikiyə vuranda yenə on iki alınır. Eyni cavab! Bu təsadüf deyil. Mənfi olmayan vuruqların hasilinin kvadrat kökü həmin vuruqların kvadrat köklərinin hasilinə bərabərdir. Qısa desək: hasilin kökü köklərin hasilidir. Səbəbi sadədir: köklərin hasilini kvadrata yüksəldəndə kök altındakı hasil alınır, özü də mənfi deyil. Bu xassə üç və daha çox vuruq üçün də doğrudur. Yalnız şərtə diqqət edin: vuruqlar mənfi olmamalıdır, çünki mənfi ədədin ayrıca kökü yoxdur. İndi sandığa qayıdaq. Səbinə böyük hasili heç hesablamır, hər ədəddən ayrıca kök alır. On altının kökü dörddür. İyirmi beşin kökü beşdir. Bəs yüz doxsan altının kökü neçədir? Bir az fikirləşin. Yüz doxsan altının kökü on dörddür, çünki on dördün kvadratı yüz doxsan altıdır. İndi üç kökü vururuq. Dördü beşə vuranda iyirmi alınır. İndi on dördü bu iyirmiyə vuraq: iki yüz səksən alınır. Səbinə kilidə iki yüz səksən yığır. Sandığın qapağı cırıldayaraq açılır. Fəridin hesabı da faydalı oldu: iki yüz səksənin kvadratı məhz yetmiş səkkiz min dörd yüzdür, yəni onun hasili Səbinənin cavabını yoxladı. Bu bərabərliyi tərsinə də oxumaq olar: köklərin hasili hasilin köküdür. Məsələn, on bir ədədinin kökünü qırx dörd ədədinin kökünə vuraq. Bu köklərin heç biri tam ədəd deyil. Amma onları bir kök altına yığaq: kök altında on birin qırx dördə hasili alınır. On biri qırx dördə vuranda dörd yüz səksən dörd alınır, onun kökü isə iyirmi ikidir. Tam olmayan iki kök birlikdə tam ədəd verdi. İndi bölməyə keçək. Hasil üçün doğru olan qayda nisbət üçün də işləyir. Surəti mənfi olmayan, məxrəci müsbət olan kəsrin kvadrat kökü surətin kökünün məxrəcin kökünə nisbətinə bərabərdir. Məsələn, on altıda doqquzun kökünü tapaq. Surətin kökü üçdür, məxrəcin kökü dörddür, cavab dörddə üç. Məxrəc niyə müsbət olmalıdır? Çünki sıfıra bölmək olmaz, mənfi ədədin isə kökü yoxdur. Sandığın içində kiçik mis qutu var, onun da kilidi var. Kartda yazılıb: «Min iki yüz ədədinin kökünü üç ədədinin kökünə bölün.» Bu köklərin də heç biri tam ədəd deyil. Amma qaydanı tərsinə oxuyaq: köklərin nisbəti nisbətin köküdür. Kod neçədir? Fikirləşin. Min iki yüzü üçə bölək: dörd yüz alınır. Dörd yüzün kökü iyirmidir. Səbinə mis qutunun kilidinə iyirmi yığır. Qutu açılır, içində qatlanmış köhnə xəritə var. Xəritənin küncündə kimsə yazıb: «Kökü cəmə paylamayın!» Bu xəbərdarlıq çox vacibdir. Kök hasilə və nisbətə paylanır, cəmdə və fərqdə isə bu qayda səhv nəticə verir. Yoxlayaq. Otuz altı ilə altmış dördün cəmi yüzdür, yüzün kökü ondur. Ayrı-ayrı köklər isə altı və səkkizdir, onların cəmi on dörddür. On ilə on dörd fərqli ədədlərdir. Deməli, cəmin kökünü köklərin cəmi ilə əvəz etmək səhvdir. Bəs kök altında iki kvadratın fərqi olanda nə edək? Məsələn, kök altında səksən ikinin kvadratı ilə səksənin kvadratının fərqi var. Kvadratları atıb sadəcə səksən iki ilə səksənin fərqini götürsək, iki alınar, amma bu cavab səhvdir. Doğru yol yeddinci sinifdən tanış düsturdur: iki ədədin kvadratları fərqi bu ədədlərin fərqi ilə cəminin hasilinə bərabərdir. Fərq ikidir, cəm yüz altmış ikidir. Bu iki ədədin hasili üç yüz iyirmi dörddür. Üç yüz iyirmi dördün kökü isə on səkkizdir. Yəni əvvəl fərqi hasilə çevirdik, sonra kök aldıq. İndi ən maraqlı kilidə, çıxış qapısına qayıdaq. Kart deyir: mənfi iyirmi üç ədədinin kvadratının kvadrat kökü. Fərid cavabın mənfi iyirmi üç olduğunu düşünürdü. Siz necə düşünürsünüz, kilidə nə yığmaq lazımdır? Fikirləşin. Addım-addım gedək. Əvvəlcə kök altındakı ifadəni hesablayırıq. Mənfi iyirmi üçün kvadratı beş yüz iyirmi doqquzdur, müsbət ədəddir. Hesabi kvadrat kök isə mənfi ola bilməz. Deməli, kod iyirmi üçdür. Kilid düzgün düzəldilib! Kvadrata yüksəldəndə ədədin işarəsi itir, kök isə ədədin sıfırdan uzaqlığını qaytarır. Bu, ümumi qaydadır: istənilən ədədin kvadratının kökü həmin ədədin moduluna bərabərdir. Modul, yəni mütləq qiymət, ədədin sıfırdan uzaqlığıdır və həmişə mənfi olmayan ədəddir. Ədəd mənfi deyilsə, onun kvadratının kökü ədədin özüdür. Ədəd mənfidirsə, kvadratının kökü onun əks ədədidir. Məsələn, mənfi iyirmi üçün əks ədədi iyirmi üçdür. İki oxşar ifadəni qarışdırmayın. Birincisi ədədin kvadratının köküdür: əvvəl kvadrata yüksəldirik, sonra kök alırıq. Nəticə ədədin moduludur və bu, istənilən ədəd üçün mənalıdır. İkincisi ədədin kökünün kvadratıdır: əvvəl kök alırıq, sonra kvadrata yüksəldirik. İyirmi üçün kökünün kvadratı yenə iyirmi üçdür. Amma mənfi iyirmi üçün kökü yoxdur. Buna görə də mənfi iyirmi üçün kökünün kvadratı mənasız ifadədir. Hərflərlə də eyni qayda işləyir. Tutaq ki, iks mənfi ədəddir və kök altında yüzün iksin kvadratına hasilini sadələşdirmək lazımdır. Yüzün kökü ondur, iksin kvadratının kökü isə iksin moduludur. İks mənfi olduğu üçün onun modulu mənfi iksdir. Cavab: mənfi on iks. Bu ifadə müsbət ədəddir! Yoxlayaq: iks mənfi dörd olsun. Yüzü on altıya vuranda min altı yüz alınır, onun kökü qırxdır. Mənfi onu mənfi dördə vuranda da qırx alınır. Son fəsildə cüt qüvvətlərə baxaq. Kök altında mənfi on ədədinin altıncı qüvvəti var. Qüvvət cüt olduğu üçün nəticə müsbətdir: bir milyon. Bir milyonun kökü mindir. Qısa yol da var: altıncı qüvvəti kubun kvadratı kimi görək. Mənfi onun kubu mənfi mindir. Mənfi minin kvadratının kökü isə mənfi minin moduludur, yəni min. Qayda belədir: cüt qüvvətin kökündə qüvvət göstəricisi yarıya bölünür, sonra modul götürülür. İndi hərflə. İks mənfi olduqda kök altında iksin altıncı qüvvəti iksin kubunun moduludur. Mənfi ədədin kubu mənfidir, ona görə cavab mənfi iks kubdur. Bəs kök altında iksin dördüncü qüvvəti? Göstəricini yarıya bölürük və iksin kvadratı alınır. İksin kvadratı isə həmişə mənfi olmayan ədəddir, ona görə burada modul lazım deyil. Gəlin kvest otağına qayıdaq. Dalğa səsi hələ də gəlir. Səbinə çıxış qapısının kilidinə iyirmi üç yığır. Kilid açılır, qapı aralanır. Saatda hələ vaxt var. Fərid gülür: «Kilid düzgün imiş. Kök işarəsi həmişə mənfi olmayan cavab verir!» Hər iki qısa yol bu dərsin xassələri idi: sandığın kodu köklərin hasili idi, qapının kodu isə modul. Yadda saxlamaq üçün bir fikir: kök hasilə və nisbətə paylanır, kvadratın kökü isə ədədin modulunu qaytarır. Addım-addım həllər oxu dərsində və videoda var. Növbəti dərsdə bu xassələrlə vuruğu kök işarəsi altından çıxarmağı öyrənəcəyik. O vaxta qədər düşünün: kök altında iksin kvadratı nə vaxt iksə, nə vaxt mənfi iksə bərabərdir? Sağ olun, görüşənədək!