Triqonometrik nisbətlərin tətbiqi: fırtınadan əvvəl qoca qovaq

Mətn (transkript)

Təsəvvür edin: oktyabrın sonu, dağ ətəyində bir kənd, axşamüstü. Külək getdikcə güclənir. Səkkizinci sinif şagirdi Aytən babasının həyətindədir. Həyətin lap kənarında qoca bir qovaq ağacı ucalır: nazik, hündür, təpəsi isə çoxdan quruyub. Külək ağacı yelləyir, gövdə cırıldayır. Radioda deyirlər ki, gecə güclü fırtına gözlənilir. Qovağın dibindən kiçik bir çay axır. Çayın o tayında, lap sahildə, qonşu Zəhra xalanın evi durur. Baba qovağa baxıb narahat soruşur: «Bu ağac fırtınada yıxılsa, Zəhra xalanın damına çatarmı?» Bunu bilmək üçün iki şey lazımdır: ağacın hündürlüyü və ağacdan evin divarına qədər məsafə. Amma ağaca dırmaşmaq təhlükəlidir, çayın üstündən də ölçü lenti çəkmək mümkün olmur. Elə bu vaxt darvaza açılır. Aytənin dayısı Vüqar gəlir. O, yerölçən mühəndisdir. Çiynində üçayaqlı dayaq, əlində kiçik bir alət, cibində ölçü lenti var. Vüqar dayı gülümsəyir: «Bu gün heç kim ağaca çıxmayacaq, heç kim çaya da girməyəcək. Bir ölçü lenti, bir bucaq və düzgün seçilmiş bir nisbət bəs edir.» Bəs əlimizin çatmadığı hündürlüyü və keçə bilmədiyimiz məsafəni necə ölçmək olar? Salam! Bu, triqonometrik nisbətlərin tətbiqi ilə məsələ həlli dərsidir. Siz artıq düzbucaqlı üçbucaqda iti bucağın sinusunu, kosinusunu və tangensini tanıyırsınız, otuz, qırx beş və altmış dərəcənin qiymətlərini bilirsiniz. Bu gün həmin bilikləri həyətə çıxaracağıq. Birinci fəsildə Vüqar dayının aləti və iki vacib bucaqla tanış olacağıq. İkinci fəsildə ağacın hündürlüyünü, üçüncü fəsildə çayın o tayına qədər məsafəni tapacağıq. Dördüncü fəsildə yuxarıdan aşağı baxacağıq. Sonda isə kiçik bir oyun oynayacağıq. Birinci fəsil: alət və iki bucaq. Vüqar dayının aləti teodolitdir. Teodolit bucaqları ölçmək üçün xüsusi alətdir. Mütəxəssislər əvvəlcə bucağı ölçür, sonra triqonometriyanın köməyi ilə lazım olan uzunluqları və hündürlükləri hesablayır. Alət üçayaqlı dayağın üstünə qoyulur. Alətin durbinə bənzəyən kiçik borusu həm yuxarı və aşağı, həm də sağa və sola dönür, bucaq isə şkalada oxunur. İndi iki xətti təsəvvür edin. Birincisi baxış xəttidir: gözünüzdən baxdığınız cismə qədər çəkilmiş düz xətt. İkincisi üfüqi xətdir: gözünüzün hündürlüyündə, yerə paralel, sakit suyun səthi kimi düz uzanan xətt. Cisim sizdən yuxarıdadırsa, başınızı qaldırırsınız. Baxış xətti ilə üfüqi xətt arasındakı bu bucağa yüksəliş bucağı deyilir. Cisim sizdən aşağıdadırsa, başınızı əyirsiniz. Bu dəfə həmin bucağa eniş bucağı deyilir. Yadda saxlayın: hər iki bucaq üfüqi xətdən ölçülür. Şaquli gövdədən və ya divardan ölçülən bucaq tamam başqa bucaqdır. Bu xətlərdən düzbucaqlı üçbucaq yaranır və onu şəkilsiz də qurmaq olar. Bir tərəf üfüqi olsun, bir tərəf şaquli. Düz bucaq həmişə bu iki tərəfin görüşdüyü yerdədir. Üfüqi və şaquli tərəflər katetlərdir, baxış xətti isə hipotenuzdur. Sonra özünüzə iki sual verin: nəyi bilirəm və nəyi axtarıram? Söhbət bucağın qarşısındakı katetdən və bitişik katetdən gedirsə, tangens lazımdır. Qarşı katet və hipotenuz varsa, sinus. Bitişik katet və hipotenuz varsa, kosinus. İkinci fəsil: qovağın hündürlüyü. Vüqar dayı üçayağı həyətin düz yerində qurur. Aytən ölçü lentinin ucunu gövdəyə tutur. Lent göstərir ki, alətdən gövdəyə qədər düz iyirmi üç metrdir. Vüqar dayı deyir: «Alətin borusu yerdən bir yarım metr hündürlükdədir. Bunu da yaz.» Sonra borunu qovağın quru təpəsinə tuşlayır və şkalaya baxır. Yüksəliş bucağı qırx beş dərəcədir. Üçbucağı sözlə quraq. Göz alətin borusundadır. Oradan gövdəyə doğru üfüqi xətt uzanır və gövdəyə yerdən bir yarım metr hündürlükdə dəyir. Bu üfüqi parça iyirmi üç metrdir və bucağa bitişik katetdir. Həmin nöqtədən gövdə boyunca təpəyə qədər olan şaquli parça bucağın qarşısındakı katetdir. Axtardığımız da elə odur. Baxış xətti hipotenuzdur. Bu hesabda onu bir kənara qoyuruq. Qarşı katet və bitişik katet: deməli, tangens. Qırx beş dərəcənin tangensi birə bərabərdir. Tangens bir olanda qarşı katet bitişik katetə bərabərdir. Belə üçbucaqda o biri iti bucaq da qırx beş dərəcədir və üçbucaq bərabəryanlıdır. Deməli, təpə alətin borusundan düz iyirmi üç metr yuxarıdadır. Aytən sevinir: «Qovaq iyirmi üç metrdir!» Vüqar dayı başını bulayır: «Tələsmə. İyirmi üç metr təpənin alətdən hündürlüyüdür. Alətin özü yerdən bir yarım metr yuxarıdadır.» İyirmi üçə bir yarım əlavə edirik: qovağın hündürlüyü iyirmi dörd yarım metrdir. Bu, ən çox rast gəlinən səhvlərdən biridir: alətin və ya gözün hündürlüyünü unutmaq. Bucaq başqa olsaydı, yol eyni qalardı: alətdən gövdəyə qədər məsafəni bucağın tangensinə vururuq. Otuz dərəcədə tangens birdən azdır, ona görə də təpənin alətdən hündürlüyü məsafədən qısa çıxır. Altmış dərəcədə tangens birdən çoxdur və hündürlük məsafədən uzun olur. Qırx beş dərəcə isə tam sərhəddir: hündürlük məsafəyə bərabərdir. Cavabı yoxlamaq üçün bu, çox rahat üsuldur. Üçüncü fəsil: çayın o tayı. İndi ağacdan Zəhra xalanın divarına qədər məsafə lazımdır. Qovaq çayın lap kənarında bitib. Divarın ən yaxın nöqtəsi düz qarşıdadır: gövdədən divara çəkilən xətt çayı düz, sahilə perpendikulyar keçir. Bu xətt boyunca lent çəkmək mümkün olmur, çünki arada su var. Vüqar dayı başqa yol seçir. Gövdədən başlayaraq sahil boyunca on metr gedir və alətini orada qurur. Bu dəfə borunu yuxarı və aşağı qaldırmır, sağa və sola fırladır. Əvvəlcə borunu gövdəyə tuşlayır, sonra çayın o tayındakı divar nöqtəsinə. İki istiqamət arasındakı bucaq altmış dərəcədir. İndi üçbucağı görək: gövdə, alət və divar nöqtəsi. Bu üçbucaq yerdə uzanır, masanın üstündəki vərəq kimi. Düz bucaq gövdənin yanındadır, çünki sahil xətti ilə çayı düz keçən xətt perpendikulyardır. Altmış dərəcəlik bucaq alətin yanındadır. Sahil boyunca on metr bu bucağa bitişik katetdir. Çayın üstündən keçən məsafə qarşı katetdir və onu axtarırıq. Yenə qarşı katet və bitişik katet, yenə tangens. Altmış dərəcənin tangensi kökaltı üçdür. Kökaltı üçü onda birə qədər yuvarlaqlaşdırsaq, bir tam onda yeddi alınır. On metri bir tam onda yeddiyə vururuq: təxminən on yeddi metr. Deməli, düzbucaqlı üçbucaq ayaq üstə də dura bilər, yerdə də uzana bilər. Yüksəliş və eniş bucaqları ayaq üstə duran üçbucaqlardadır, amma üsul eynidir: düz bucağı tap, katetləri bucağa görə adlandır. İndi babanın sualına cavab verə bilərik. Qovaq iyirmi dörd yarım metrdir, divar isə gövdədən təxminən on yeddi metr aralıdadır. Ağac evə tərəf yıxılsa, təpəsi divarı yeddi metrdən çox keçər, yəni düz damın üstünə düşər. Baba qərar verir: fırtınadan əvvəl qovağın quru təpəsi kəsilməlidir. Vüqar dayı ağac ustası Fərhada zəng edir. Dördüncü fəsil: yuxarıdan aşağı baxış. Fərhad usta hava qaralmamış gəlir. Təhlükəsizlik kəmərini bağlayıb qovağa dırmaşır və yerdən on altı metr hündürlükdəki qalın budaq çatalında dayanır. Quru təpəni oradan hissə-hissə kəsəcək və hər parçanı uzun iplə aşağı endirəcək. İpin aşağı ucu həyətdə, çaydan və evdən uzaq tərəfdə, yerə çalınmış paya bağlanacaq. Sual belədir: çataldan paya qədər düz dartılmış ip nə qədər uzun olmalıdır? Usta cibindən kiçik bir bucaqölçən çıxarır və çataldan aşağı, paya baxır. Bu dəfə müşahidəçi yuxarıdadır, cisim isə aşağıda. Ustanın gözündən havaya doğru üfüqi xətt uzanır, yerə paralel. Baxış xətti isə aşağı, paya enir və ip də elə bu xətt boyunca gedəcək. Bu iki xətt arasındakı bucaq eniş bucağıdır: otuz dərəcə. Üçbucaq belədir: çatal, pay və gövdənin dibi. Düz bucaq gövdənin dibindədir, çünki gövdə şaqulidir, yer isə üfüqi. Bəs otuz dərəcə üçbucağın içində haradadır? Ustanın üfüqi xətti ilə yer bir-birinə paraleldir, ip isə hər ikisini kəsir. Paralel xətlərdə çarpaz bucaqlar bərabərdir. Deməli, payın yanında, yerlə ip arasındakı bucaq da otuz dərəcədir. Yuxarıdan ölçülən eniş bucağı aşağıdan ölçülən yüksəliş bucağına bərabərdir. Tələyə diqqət edin: çatalda gövdə ilə ip arasındakı bucaq altmış dərəcədir və o, eniş bucağı sayılmır. İndi payın yanındakı otuz dərəcəlik bucağa baxaq. On altı metrlik gövdə bu bucağın qarşısındakı katetdir. İp hipotenuzdur və onu axtarırıq. Qarşı katet və hipotenuz: sinus. Otuz dərəcənin sinusu yarıma bərabərdir, yəni qarşı katet hipotenuzun yarısıdır. Deməli, hipotenuz qarşı katetin iki mislidir: on altının iki misli otuz iki edir. İp ən azı otuz iki metr olmalıdır, düyünlər üçün də bir az artıq. Yoxlama da sadədir: hipotenuz həmişə ən uzun tərəfdir. İp on altı metrdən qısa çıxsaydı, bölməni vurma ilə qarışdırdığımızı bilərdik. Mişar işə düşür. Quru parçalar bir-bir iplə aşağı enir və həyətdə yerə qoyulur. Hava qaralanda qovağın quru təpəsi artıq kəsilib: ağacın ən hündür nöqtəsi indi on altı metrlik çataldır. Gecə fırtına başlayır, külək fit çalır, uzaqda göy guruldayır. Beşinci fəsil: hansı nisbət? Üç vəziyyət deyəcəyəm, hər birində özünüz seçin: sinus, kosinus, yoxsa tangens. Birinci: ipin uzunluğunu və ipin yerlə əmələ gətirdiyi bucağı bilirik, payın gövdədən nə qədər aralı olduğunu axtarırıq. İkinci: usta çataldan çayın o tayındakı böyük bir daşa baxıb eniş bucağını ölçür. Gövdədən daşa qədər üfüqi məsafə məlumdur, çatalın hündürlüyünü axtarırıq. Üçüncü: ipin uzunluğu və çatalın hündürlüyü məlumdur, ipin yerlə əmələ gətirdiyi bucağı axtarırıq. Bir az düşünün. Cavablara keçək. Birincidə ip hipotenuzdur, payla gövdə arasındakı məsafə isə bucağa bitişik katetdir: kosinus. İkincidə eniş bucağını daşın yanına keçiririk. Çatalın hündürlüyü qarşı katetdir, üfüqi məsafə bitişik katet: tangens. Üçüncüdə çatalın hündürlüyü qarşı katetdir, ip hipotenuz: sinus. Bucağın özünü isə sinusun qiymətinə görə cədvəldən və ya kalkulyatorla tapırıq. Səhər açılır. Fırtına keçib, quşlar oxuyur, çay yenə sakit axır. Qovaq yerindədir, sadəcə əvvəlkindən qısadır. Zəhra xalanın damı salamatdır. Kəsilməmişdən əvvəl qovaq iyirmi dörd yarım metr idi və yıxılsaydı, damın üstünə çata bilərdi. İndi ağacın ən hündür nöqtəsi on altı metrdir, divar isə on yeddi metr aralıdadır. Biz nə ağaca dırmaşdıq, nə də çaya girdik. Bir ölçü lenti, bir bucaq və düzgün seçilmiş nisbət bəs etdi. Bu dərsdən bir fikri yadda saxlayın. Əvvəlcə düzbucaqlı üçbucağı ağlınızda qurun: göz haradadır, üfüqi xətt haradadır, düz bucaq haradadır. Bucağı həmişə üfüqi xətdən ölçün və alətin hündürlüyünü unutmayın. Sonra soruşun: nəyi bilirəm, nəyi axtarıram? Və sinusu, kosinusu, ya da tangensi seçin. Bəzən bir üçbucaq bəs etmir. Məsələn, eyni cismə iki fərqli nöqtədən baxanda iki bucaq ölçülür. Belə hallarda ortaq tərəfi olan iki düzbucaqlı üçbucaq həll edilir. Bu cür məsələlərin addımlarını oxu dərsində və videoda tapacaqsınız. Düşünmək üçün bir sual: Vüqar dayı alətini qovağa bir neçə addım yaxın qoysaydı, təpənin yüksəliş bucağı artardı, yoxsa azalardı? Cavabı özünüz tapın. Növbəti dərsdə görüşənədək!