İki nöqtədən minarənin hündürlüyü

1 · Əsas fikir

İki yüksəliş bucağı — iki üçbucaq

Əsas fikir

Yüksəliş və eniş bucağı (dərslik). «Yüksəliş və eniş bucaqları müşahidəçidən obyektə çəkilmiş baxış xətti ilə üfüqi xəttin əmələ gətirdiyi bucaqlardır.» Obyekt yuxarıdadırsa, bu yüksəliş bucağı, aşağıdadırsa, eniş bucağıdır.

Xarici bucaq. Üçbucağın xarici bucağı ona qonşu olmayan iki daxili bucağın cəminə bərabərdir. İki bucağı bərabər olan üçbucaq bərabəryanlıdır.

Triqonometrik nisbətlər (dərslik). «İti bucağın sinusu bu bucağın qarşısındakı katetin hipotenuza nisbətinə deyilir», kosinusu — bitişik katetin hipotenuza, tangensi — qarşı katetin bitişik katetə nisbətinə.

• sin α = qarşı katet : hipotenuz
• cos α = bitişik katet : hipotenuz
• tan α = qarşı katet : bitişik katet

Xüsusi bucaqlar (30°, 60°, 90° və 45°, 45°, 90° üçbucaqlarından):

sin 30° = cos 60° = 1/2 sin 60° = cos 30° = √3/2 sin 45° = cos 45° = √2/2 tan 30° = √3/3 tan 45° = 1 tan 60° = √3

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

Tapşırıqİki nöqtədən minarənin hündürlüyü

Minarəyə iki yüksəliş bucağı

Turist A nöqtəsindən minarənin zirvəsinə yüksəliş bucağını ölçdü: 30°. Sonra minarəyə doğru düz xətt boyunca 40 m yeriyib B nöqtəsinə çatdı və yüksəliş bucağını yenidən ölçdü: 60°. A, B və minarənin dibi bir düz xətt üzərindədir. Ölçmə cihazının hündürlüyünü nəzərə almayaraq minarənin hündürlüyünü tapın.

1. Minarənin zirvəsi T, dibi H olsun. ABT üçbucağında ∠TAB = 30°, B-dəki ∠TBH = 60° isə xarici bucaqdır. Xarici bucaq qonşu olmayan iki daxili bucağın cəmidir: ∠ATB = 60° − 30° = 30°.
2. ∠A = ∠ATB = 30° olduğundan ABT üçbucağı bərabəryanlıdır: BT = AB = 40 m.
3. BHT düzbucaqlı üçbucağında BT hipotenuz, h isə 60°-li bucağın qarşısındakı katetdir: h = 40 · sin 60° = 40 · √3/2 = 20√3 m (≈ 34,6 m).
4. Cavab: 20√3 m

Minarəyə iki yüksəliş bucağı

∠ATB = 30°, ona görə BT = AB = 40 m; h = 40 · sin 60° = 20√3 m.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

BH = 40 · cos 60° = 20 m, AH = 40 + 20 = 60 m. tan ∠A = 20√3 : 60 = √3/3 = tan 30° ✓. (Başqa yol: h = x · tan 60° = (x + 40) · tan 30° → x = 20, h = 20√3.)

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• 20 m40 · sin 30° hesablanıb, sanki zirvəyə qədər məsafə A-dan 40 m-dir. 40 m yerdəki AB parçasıdır; zirvəyə qədər 40 m B nöqtəsindən olur.
• 40 mBu, B-dən zirvəyə qədər baxış xəttinin uzunluğudur (hipotenuz). Hündürlük onun 60°-li bucağın qarşısındakı katetidir: 40 · sin 60°.
• 40√3 m40 m B-dən minarənin dibinə qədər məsafə sayılıb (40 · tan 60°). 40 m isə A ilə B arasındadır.
• 40√3/3 m40 m A-dan minarənin dibinə qədər məsafə sayılıb (40 · tan 30°). A-dan dibə qədər 40 m-dən uzundur.