Birhədlilərin hasilinin və nisbətinin qüvvətə yüksəldilməsi

• 2.21
• 7-ci sinif
• Birhədlilər

Hasilin və nisbətin qüvvəti

(−3x2y4)2 ifadəsində mötərizəni necə açaq: mənfi işarə hara gedir, üstlər nə olur? Kənardakı üst mötərizənin içindəki hər vuruğa çatır, ona görə cavab 9x4y8-dir.

Bu dərsdə

• qüvvəti qüvvətə yüksəldəndə üstlərin niyə vurulduğunu sətir-sütun cədvəli ilə izah edəcəksən;
• hasili və nisbəti qüvvətə yüksəldəcək, əmsalın işarəsini cüt və tək üstə görə tapacaqsan;
• qüvvətlərin hasilini və nisbətini sadələşdirəcək, birhədlini kvadrat və ya kub şəklində yazacaqsan.

Kənardakı üst mötərizədəki hər vuruğa çatır

Başla Yenidən Yenidən

1. Kəşf et
2. Qüvvətin qüvvəti
3. Hasilin qüvvəti
4. Nisbətin qüvvəti
5. Hesabla
6. Diqqət
7. Həyatda
8. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Qüvvəti yenidən qüvvətə yüksəldək

Xatırla: an — n dənə a vuruğunun hasilidir. Ötən dərslərdə gördük ki, eyni əsaslı qüvvətləri vuranda üstlər toplanır: am · an = am + n. İndi qüvvətin özü vuruq olsun. Məsələn, (103)4 nə deməkdir?

(103)4 = 103 · 103 · 103 · 103 = 1000 · 1000 · 1000 · 1000 = 1 000 000 000 000 = 1012

Dörd dəfə üç sıfır: 3 · 4 = 12 sıfır. Üstlər toplanmadı — vuruldu.

Hərflərlə də eynidir. Aşağıdakı cədvəldə hər sətir bir am vuruğudur (m dənə a), sətirlərin sayı isə kənardakı üst n-dir. Qüvvəti seç və a-ları say.

Qüvvəti seç

(a2)7 (a7)2 (a4)4 (a7)3

(a²)⁷: 7 sətir, hər sətirdə 2 dənə a (a⁷)²: 2 sətir, hər sətirdə 7 dənə a (a⁴)⁴: 4 sətir, hər sətirdə 4 dənə a (a⁷)³: 3 sətir, hər sətirdə 7 dənə a

(a2)7 — 7 sətir, hər sətirdə 2 dənə a. Cəmi 2 · 7 = 14 vuruq: (a2)7 = a14.

(a7)2 — 2 sətir, hər sətirdə 7 dənə a. Cədvəl dönüb, amma a-ların sayı yenə 7 · 2 = 14: (a7)2 = a14 = (a2)7.

(a4)4 — 4 sətir × 4 sütun, kvadrat cədvəl: 16 vuruq, (a4)4 = a16. Üst 4 + 4 = 8 deyil!

(a7)3 — 3 sətir × 7 sütun = 21: (a7)3 = a21. Hasilin qaydası ilə yoxla: a7 · a7 · a7 = a7 + 7 + 7 = a21.

Hər sətir bir am vuruğudur, sətirlərin sayı n-dir. a-ların sayı = sətirlər × sütunlar = m · n.

Nəticə: am vuruğu n dəfə təkrarlananda a hərfi m · n dəfə yazılır. Sətirləri toplasaq da eyni çıxır: m + m + … + m (n dəfə) elə m · n-dir.

2 · Qüvvətin qüvvəti

Əsas qalır, üstlər vurulur

Yadda saxla

Dərslikdə: «İstənilən a rasional ədədi, m və n natural ədədləri üçün

(am)n = amn

Natural üstlü qüvvəti qüvvətə yüksəltdikdə, əsas olduğu kimi qalır, üstlərin hasili isə qüvvətdə yazılır.»

(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ yazılışının hissələri

Mavi — əsas, narıncı — üstlər. Sağ tərəfdə yeni üst m · n-dir.

Niyə belədir? Qüvvətin tərifinə görə (dərslikdəki isbat):

(am)n = am · am · … · am (n vuruq) = am + m + … + m = amn.

Hər iki istiqamətdə

amn = (am)n = (an)m

Cədvəli döndərmək kimidir: 614 = (62)7 = (67)2.

Fərqi gör

(a8)5 = a40

Amma a8 · a5 = a13: qüvvətin qüvvətində üstlər vurulur, hasildə toplanır.

3 · Hasilin qüvvəti

Üst hər vuruğa çatır

Yadda saxla

Dərslikdə: «İstənilən a və b rasional ədədləri, m natural ədədi üçün

(ab)m = am · bm»

Səbəbi vurmanın yerdəyişmə xassəsidir: (ab)3 = ab · ab · ab hasilində a-ları bir yerə, b-ləri başqa yerə yığırıq.

(ab)³ = a³b³: vuruqların yeri dəyişir

Başla Yenidən Yenidən

Üç dənə ab vuruğu: üç a və üç b. Yerini dəyişəndə a3b3 alınır.

Birhədlini qüvvətə yüksəltmək

Birhədli əmsal və hərflərin hasilidir, ona görə kənardakı üst hər vuruğa — əmsala da — çatır:

1. Əmsalı işarəsi ilə birlikdə qüvvətə yüksəlt.
2. Hər hərfin üstünü kənardakı üstə vur (əsas qalır, üstlər vurulur).
3. Üstü yazılmayan hərfin üstü 1-dir: (mn4)3 = m3n12.

İşarə: cüt və tək üst

(−1)ⁿ: işarə hər vuruqda dəyişir

Hər yeni mənfi vuruq işarəni dəyişir: (−1)1 = −1, (−1)2 = 1, (−1)3 = −1, …

Mənfi ədədlərin cüt sayda vurulması müsbət, tək sayda vurulması mənfi hasil verir. Ona görə mənfi əmsallı birhədlini qüvvətə yüksəldəndə işarəni üst həll edir:

• cüt üst — nəticə müsbətdir: (−3x2y4)2 = 9x4y8;
• tək üst — mənfi qalır: (−k6)7 = −k42.

Mötərizə vacibdir. −104 = −10 000, çünki üst yalnız 10-a aiddir; (−10)4 = 10 000, çünki dörd dənə −10 vurulur.

4 · Nisbətin qüvvəti

Surət də, məxrəc də

Yadda saxla

Dərslikdə: «İstənilən a və b (b ≠ 0) rasional ədədləri, m natural ədədi üçün

(ab / )m = ambm /

Nisbəti qüvvətə yüksəltmək üçün surət və məxrəcdəki hər birhədlini həmin qüvvətə yüksəltmək lazımdır.»

(3/10)²: üst surətə də, məxrəcə də çatır

Kənardakı üstdən iki ox çıxır: biri surətə, biri məxrəcə. (310 / )2 = 9100 / .

Niyə? Kəsrləri vuranda surətlər surətlərə, məxrəclər məxrəclərə vurulur:

(ab / )3 = ab / · ab / · ab / = a · a · ab · b · b / = a3b3 /

Sağdan sola da oxunur

ambm / = (ab / )m

Məsələn, 392 : 132 = (39 : 13)2 = 32 = 9 — 392 = 1521-i hesablamağa ehtiyac qalmır.

5 · Hesabla

Addım-addım sadələşdirək

Hər nümunədə iki sual verək: hər vuruq hansı qüvvətə yüksəlir və işarə nə olur? Bölmə olan yerdə hərflər sıfırdan fərqlidir.

Nümunə 1Tək üst, mənfi əmsal

Birhədlini kuba yüksəldin: (−6p2q4)3

1. İşarə Üst 3 təkdir — nəticə mənfi olacaq.
2. Əmsal 63 = 216, deməli (−6)3 = −216.
3. Hərflər (p2)3 = p6, (q4)3 = q12. (−6p2q4)3 = −216p6q12

Nümunə 2Qüvvətlərin hasili

Standart şəkildə yazın: (−c3d)4 · (6cd2)2

1. Birinci mötərizə: üst 4 cütdür, mənfi işarə itir; d = d1. (−c3d)4 = c12d4.
2. İkinci mötərizə: 62 = 36, c1 · 2 = c2, d2 · 2 = d4. (6cd2)2 = 36c2d4.
3. İndi vururuq — eyni əsaslı qüvvətlərin üstləri toplanır: c12 + 2 = c14, d4 + 4 = d8. (−c3d)4 · (6cd2)2 = 36c14d8

Nümunə 3Nisbətin kubu

v ≠ 0. Nisbəti kuba yüksəldin: (−u310v2 / )3

1. İşarə Üst 3 təkdir, surətdəki mənfi işarə qalır.
2. Surət (u3)3 = u9.
3. Məxrəc Hər vuruq kuba: (10v2)3 = 103 · v6 = 1000v6. (−u310v2 / )3 = −u91000v6 /

Nümunə 4Qüvvətlərin nisbəti

p ≠ 0, r ≠ 0. Bölməni yerinə yetirin: (12p5r3)2 : (2p3r)3

1. Bölünən: (12p5r3)2 = 144p10r6.
2. Bölən: (2p3r)3 = 8p9r3.
3. Birhədlini birhədliyə bölürük: 144 : 8 = 18, p10 − 9 = p, r6 − 3 = r3. (12p5r3)2 : (2p3r)3 = 18pr3

Əvvəl qüvvətə yüksəlt, sonra böl. 12 : 2 = 6 ilə başlamaq olmaz: mötərizələrin üstləri fərqlidir (2 və 3).

Nümunə 5Kvadrat və kub şəklində

c6d18 birhədlisini həm birhədlinin kvadratı, həm də kubu şəklində yazın. −c6d18 üçün hansı mümkündür?

1. Kvadrat Hər üstü 2-yə bölürük: 6 : 2 = 3, 18 : 2 = 9. (c3d9)2 = c6d18; həmçinin (−c3d9)2 = c6d18.
2. Kub Üstləri 3-ə bölürük: 6 : 3 = 2, 18 : 3 = 6. (c2d6)3 = c6d18.
3. Mənfi Kvadrat mənfi ola bilməz, kub isə tək üstdür: (−c2d6)3 = −c6d18. c6d18 = (c3d9)2 = (c2d6)3; −c6d18 = (−c2d6)3

Nümunə 6Hansı böyükdür?

Hesablamadan müqayisə edin: 235 və 515.

1. Üstlərin ortaq böləni 5-dir: 35 = 7 · 5, 15 = 3 · 5.
2. 235 = (27)5 = 1285, 515 = (53)5 = 1255.
3. Üstlər eynidir (5), əsas 128 > 125, deməli 1285 > 1255. 235 > 515

Yoxlama: 235 = 34 359 738 368, 515 = 30 517 578 125. Əsaslar çox yaxın olsa da, ortaq üst sualı tez həll edir.

6 · Diqqət

Dörd tipik səhv

Üstləri toplamaq

Səhv

(b7)4 = b11

7 + 4 — bu, b7 · b4 hasilinin qaydasıdır.

Düz

(b7)4 = b28

4 sətir, hər sətirdə 7 dənə b: 7 · 4 = 28.

(b⁷)⁴ ilə b⁷ · b⁴ fərqlidir

Qüvvətin qüvvəti — cədvəl (sətir × sütun), hasil — bir sətir (toplama).

Əmsalı unutmaq

Səhv

(6t3)2 = 6t6

Üst yalnız hərfə tətbiq olunub.

Düz

(6t3)2 = 36t6

Əmsal da vuruqdur: 62 = 36.

Tək üstdə işarəni itirmək

Səhv

(−k6)7 = k42

Mənfi işarə «qüvvətdə itir» sanılıb.

Düz

(−k6)7 = −k42

7 təkdir: yeddi mənfi vuruğun hasili mənfidir.

Məxrəci unutmaq

Səhv

(w510 / )2 = w1010 /

Yalnız surət kvadrata yüksəldilib.

Düz

(w510 / )2 = w10100 /

Surət də, məxrəc də kvadrata: 102 = 100.

7 · Həyatda

Kvadrat metr, kub santimetr

Uzunluq vahidlərini qüvvətlə yazmaq rahatdır: 1 m = 102 sm, 1 km = 103 m. Sahədə vahid kvadrata, həcmdə kuba yüksəlir — bu, hasilin qüvvətidir: ədəd də, vahid də qüvvətə yüksəlir.

1 m³ kubu: hər kənar 10² sm

Kənarı 1 m olan kubu 1 sm-lik kubiklərlə doldursaq, hər kənar boyunca 102 kubik düzülür. Şəkil miqyassızdır.

Vahidlərin çevrilməsi

1 litr = 1 dm3 olduğuna görə, həcmi 1 m3 olan akvariuma 1000 litr su sığır. Onu 1 sm3-lük kubiklərlə doldurmaq üçün isə (102)3 = 106 — bir milyon kubik lazımdır.

Səhv tez-tez belə olur: «1 m = 100 sm, deməli 1 m3 = 100 sm3». Vahid də kuba yüksəlir: 1003, 100 yox.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq və ipucu çıxacaq. Hər sualın altında həll var.

1. Asan (z6)5 ifadəsini qüvvət şəklində yaz. Cavab variantları z11 z30 z7776 Düzdür: 6 · 5 = 30. Yox. Qüvvətin qüvvətində üstlər nə toplanır, nə də biri digərinə yüksəlir — vurulur. Həllə bax (z6)5 = z6 · 5 = z30: 5 sətir, hər sətirdə 6 dənə z.
2. Asan (−h7)3 neçəyə bərabərdir? Cavab variantları h21 −h10 −h21 Əla: üst 3 təkdir, mənfi qalır; 7 · 3 = 21. İki şeyi yoxla: tək üstdə işarə qalır, üstlər isə vurulur. Həllə bax Üç mənfi vuruğun hasili mənfidir; (h7)3 = h21. Deməli (−h7)3 = −h21.
3. Orta (−3r4s2)5 birhədlisini standart şəkildə yaz. Cavab variantları 243r20s10 −15r20s10 −243r20s10 −3r20s10 Düzdür! Əmsal da beşinci qüvvətə yüksəldi. Əmsal da qüvvətə yüksəlir, 5 isə təkdir: (−3)5 = −243 — nə 3 · 5, nə də −3. Həllə bax (−3)5 = −243 (tək üst); (r4)5 = r20; (s2)5 = s10. Cavab: −243r20s10.
4. Orta w ≠ 0. (−v36w2 / )2 = ? Cavab variantları v636w4 / −v636w4 / v66w4 / Düzdür: cüt üstdə mənfi itir, məxrəcin hər vuruğu kvadrata yüksəlir. Yoxla: üst 2 cütdür (işarə itir) və məxrəcdəki 6 da kvadrata yüksəlir. Həllə bax Surət: (−v3)2 = v6. Məxrəc: (6w2)2 = 36w4. Cavab: v636w4 / .
5. Çətin k ≠ 0. (10k3)2 : (2k2)3 ifadəsinin qiyməti nədir? Cavab variantları 5 12,5 12,5k Düzdür: k tamamilə ixtisar olunur və cavab ədəddir. Əvvəl hər mötərizəni qüvvətə yüksəlt (102 = 100, 23 = 8), sonra böl; k6 : k6 = k0 = 1. Həllə bax (10k3)2 = 100k6, (2k2)3 = 8k6. 100 : 8 = 12,5, k6 : k6 = 1. Cavab: 12,5.
6. Çətin 254 · 53 ifadəsini əsası 5 olan qüvvət şəklində yaz. Cavab variantları 59 524 511 Əla! Əvvəl qüvvətin qüvvəti (vurma), sonra hasil (toplama). 25 = 52, ona görə 254 = (52)4 — burada üstlər vurulur; sonra hasildə toplanır. Həllə bax 254 = (52)4 = 58; 58 · 53 = 58 + 3 = 511.

Yekun

Üç qayda

• (am)n = amnQüvvətin qüvvətində əsas qalır, üstlər vurulur: n sətir × m sütun.
• (ab)m = ambmÜst hər vuruğa, əmsala da çatır. Mənfi əsas: cüt üst +, tək üst −.
• (ab / )m = ambm / Surət də, məxrəc də qüvvətə yüksəlir (b ≠ 0).

Növbəti mövzu: 2.22 Çoxhədli və onun standart şəkli.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 7-ci sinif», Bölmə 4 · 3 «Birhədlilərin hasilinin və nisbətinin qüvvətə yüksəldilməsi», səh. 86–88: üç qayda, onların sitatla verilən mətni, isbat sətri və «Yadda saxlayın» bərabərlikləri. İlkin bilik — eyni əsaslı qüvvətlərin vurulması və bölünməsi — əvvəlki iki mövzudandır. Dərsdəki bütün nümunə, səhv və sual ədədləri bu dərs üçün seçilib; vahidlərin nisbətləri (1 m = 100 sm, 1 litr = 1 dm3) ümumi bilikdir.