Çoxhədlinin çoxhədliyə vurulması

• 2.25
• 7‑ci sinif
• Çoxhədlilər

Çoxhədlinin çoxhədliyə vurulması

İki komanda görüşür: birində 2, o birində 3 oyunçu var. Hər oyunçu qarşı komandanın hər oyunçusu ilə bir dəfə əl sıxır. Neçə əl sıxma olar? 2 · 3 = 6. (2p − 5)⁠(p2 + 3p − 2) hasilində də hədlər belə «əl sıxır»: 6 hasil, sonra oxşarlar birləşir və alınır 2p3 + p2 − 19p + 10.

Bu dərsdə

• iki çoxhədlini «hər hədd hər həddə» qaydası ilə vurub hasili standart şəkildə yazacaqsan;
• hasillərin sayını əvvəlcədən biləcək, hər hasilin işarəsini, əmsalını və üstünü düz tapacaqsan;
• hasillərin fərqini sadələşdirəcək, qiymətini tapacaq və x2 hədləri ixtisar olunan tənlikləri həll edəcəksən.

(2p − 5)⁠(p² + 3p − 2) hasilində altı qövs — altı hasil

Başla Yenidən Yenidən

1. Kəşf et
2. Qayda
3. Laboratoriya
4. Hesabla
5. Sadələşdir
6. Tənlik
7. Diqqət
8. Həyatda
9. Özünü yoxla
10. Yekun

1 · Kəşf et

Düzbucaqlı iki tərəfdən kəsilir

Dərslik mövzunu belə açır: «Birhədlini çoxhədliyə vurma qaydasını öyrəndiniz. İndi isə çoxhədlinin çoxhədliyə hasilinin necə tapıldığını araşdıraq.»

2.24‑də düzbucaqlının bir tərəfi birhədli idi və o, yalnız bir istiqamətdə zolaqlara bölünürdü. İndi hər iki tərəf ikihədlidir. Tutaq ki, bağ sahəsinin eni (3x + 4) m, uzunluğu (x + 10) m-dir. Sahəni həm eninə, həm uzununa kəsək.

Tərəfləri (3x + 4) və (x + 10) olan plan iki istiqamətdə kəsilir

Başla Yenidən Yenidən

Bir şaquli və bir üfüqi kəsik dörd hissə verir. Hər hissənin sahəsi eninin bir həddi ilə uzunluğunun bir həddinin hasilidir. Şəkil x = 6 üçün miqyasla çəkilib.

Bütün sahə dörd hissənin sahələrinin cəminə bərabərdir. Dərslik bunu paylama xassəsi ilə yazır: ikinci mötərizəni bir vuruq kimi saxlayıb birinci mötərizənin hər həddini ona vururuq, sonra 2.24‑ün qaydası ilə mötərizələri açırıq:

(3x + 4)⁠(x + 10) = 3x(x + 10) + 4(x + 10)= 3x2 + 30x + 4x + 40= 3x2 + 34x + 40

Sahə yalnız müsbət uzunluqlarla çəkilə bilər. Mənfi hədlər olanda (məsələn, (2p − 5)) belə şəkil çəkmək çətindir, amma sxem eynidir: hər hədd hər həddə. Bunu qövslərlə göstərəcəyik.

2 · Qayda

Hər hədd hər həddə

Yadda saxla

Dərslikdə: «Çoxhədlini çoxhədliyə vurmaq üçün birinci çoxhədlinin hər bir həddini ikinci çoxhədlinin hər bir həddinə vurub alınan hasilləri cəm şəklində yazmaq lazımdır.»

(a + b)⁠(c + d) = ac + ad + bc + bd

Sonra oxşar hədləri islah edib çoxhədlini standart şəklə gətiririk. Birinci çoxhədlinin hədləri mavi, ikincinin hədləri narıncı, hasillər yaşıl rəngdədir.

(a + b)⁠(c + d): dörd qövs, dörd hasil

Qövslər yuxarıda a‑dan, aşağıda b‑dən çəkilir. Dörd qövs — dörd hasil.

Hədd işarəsi ilə birlikdə götürülür. (2p − 5) ikihədlisinin hədləri 2p və −5‑dir, (p2 + 3p − 2) üçhədlisinin hədləri isə p2, 3p və −2.

Bənzətmənin sərhədi: əl sıxmada yalnız say vacibdir, çoxhədlilərdə isə hər «əl sıxma» bir hasil verir və sonra oxşar hasillər birləşdirilir. Ona görə hero şəklindəki 6 hasildən cavabda 4 hədd qalır.

Neçə hasil?

2 · 3 = 6

m həddli çoxhədlini n həddli çoxhədliyə vuranda islahdan əvvəl m · n hasil alınır. Qövsləri saymaq heç bir hasilin unudulmadığını yoxlayır.

Sıra fərq etmir

(a + b)⁠(c + d) = (c + d)⁠(a + b)

İkinci çoxhədlinin hədlərindən başlasaq da, eyni hasillər alınır. Dərslikdə: «Nəticə dəyişmir.»

Hər hasilə üç sual

2p · (−2) = −4p

İşarə: müsbət · mənfi = mənfi. Əmsal: 2 · 2 = 4. Üst: eyni əsaslı qüvvətlərin üstləri toplanır, məsələn 2p · 3p = 6p2 (2.19).

3 · Laboratoriya

Qövsləri bir-bir izlə

Ən çox səhv mənfi hədlərin hasilində olur. Seçicini dəyiş: əvvəl 3t‑nin, sonra −2‑nin qövslərinə bax, sonra oxşar hədləri birləşdir.

Nəyə baxaq?

3t‑nin qövsləri −2‑nin qövsləri Oxşarları birləşdir

(3t − 2)⁠(t² + 4t − 1): qövslər və hasillər

3t‑nin üç qövsü: 3t · t2 = 3t3, 3t · 4t = 12t2, 3t · (−1) = −3t.

−2‑nin üç qövsü: −2 · t2 = −2t2, −2 · 4t = −8t, −2 · (−1) = 2. Mənfi · mənfi = müsbət.

Oxşar hədlər: kvadrat nişan — 12t2 − 2t2 = 10t2, üçbucaq nişan — −3t − 8t = −11t. Nəticə: 3t3 + 10t2 − 11t + 2.

Yuxarıdakı qövslər 3t‑dən, aşağıdakılar −2‑dən çıxır. Kvadrat və üçbucaq nişanları oxşar hədləri göstərir.

−2 həddi «2» yox, «−2»‑dir. Ona görə −2 · (−1) = 2 olur və nəticənin sonunda +2 yazılır.

4 · Hesabla

İkihədli, üçhədli, iki dəyişən

Hər nümunədə eyni üç addım: hasilləri yaz → oxşarları birləşdir → standart şəkildə yaz. Sonda dəyişənin yerinə bir ədəd qoyub yoxlayırıq.

Nümunə 1İki ikihədli

Hasili standart şəkildə yazın: (3m − 4)⁠(2m + 7)

1. 3m‑in qövsləri: 3m · 2m = 6m2, 3m · 7 = 21m.
2. −4‑ün qövsləri: −4 · 2m = −8m, −4 · 7 = −28.
3. Cəm: 6m2 + 21m − 8m − 28. Oxşarlar: 21m − 8m = 13m. 6m2 + 13m − 28

Yoxlama, m = −1: (−3 − 4)⁠(−2 + 7) = −7 · 5 = −35; 6 − 13 − 28 = −35. ✓

Nümunə 2Ədəd əvvəldə

Hasili standart şəkildə yazın: (6 − c)⁠(c2 − 2c + 3)

1. 6‑nın qövsləri: 6 · c2 = 6c2, 6 · (−2c) = −12c, 6 · 3 = 18.
2. −c‑nin qövsləri: −c · c2 = −c3, −c · (−2c) = 2c2, −c · 3 = −3c.
3. Oxşarlar: 6c2 + 2c2 = 8c2, −12c − 3c = −15c.
4. Standart şəkildə hədləri dərəcəsi azalan sıra ilə yazırıq — −c3 birinci gəlir. −c3 + 8c2 − 15c + 18

Yoxlama, c = −1: (6 + 1)⁠(1 + 2 + 3) = 7 · 6 = 42; 1 + 8 + 15 + 18 = 42. ✓

Nümunə 3İki dəyişən

Hasili standart şəkildə yazın: (3a + 5b)⁠(a − 4b)

1. 3a‑nın qövsləri: 3a · a = 3a2, 3a · (−4b) = −12ab.
2. 5b‑nin qövsləri: 5b · a = 5ab, 5b · (−4b) = −20b2.
3. ab və ba eyni birhədlidir, ona görə −12ab və 5ab oxşar hədlərdir: −12ab + 5ab = −7ab. 3a2 − 7ab − 20b2

Yoxlama, a = 1, b = 1: (3 + 5)⁠(1 − 4) = 8 · (−3) = −24; 3 − 7 − 20 = −24. ✓

Nümunə 4Onluq əmsal

Hasili standart şəkildə yazın: (0,5x + 2)⁠(4x − 6)

1. 0,5x‑in qövsləri: 0,5x · 4x = 2x2, 0,5x · (−6) = −3x.
2. 2‑nin qövsləri: 2 · 4x = 8x, 2 · (−6) = −12.
3. Oxşarlar: −3x + 8x = 5x. 2x2 + 5x − 12

Yoxlama, x = −1: (−0,5 + 2)⁠(−4 − 6) = 1,5 · (−10) = −15; 2 − 5 − 12 = −15. ✓

Nümunə 5Üçhədli × üçhədli

Hasili standart şəkildə yazın: (y2 − 2y + 3)⁠(2y2 + y − 1)

1. 3 · 3 = 9 hasil olacaq. Dərslikdəki QEYD kimi hər həddi ikinci üçhədliyə vurub mötərizəni açırıq — hər sətir üç qövsdür: y2 · (2y2 + y − 1) = 2y4 + y3 − y2−2y · (2y2 + y − 1) = −4y3 − 2y2 + 2y3 · (2y2 + y − 1) = 6y2 + 3y − 3
2. Oxşarları dərəcəyə görə toplayırıq: y3: 1 − 4 = −3; y2: −1 − 2 + 6 = 3; y: 2 + 3 = 5. 2y4 − 3y3 + 3y2 + 5y − 3

Yoxlama, y = −2: (4 + 4 + 3)⁠(8 − 2 − 1) = 11 · 5 = 55; 32 + 24 + 12 − 10 − 3 = 55. ✓

5 · Sadələşdir

Hasillərin fərqi

İfadədə bir neçə hasil varsa, hər hasili ayrıca açırıq. Qarşısında «−» olan hasilin nəticəsini əvvəlcə mötərizədə saxlayırıq, sonra mötərizəni açanda bütün hədlərin işarəsi dəyişir (2.23).

Nümunə 6Sadələşdir, sonra hesabla

n = −0,3 olanda ifadənin qiymətini tapın: (3n − 1)⁠(n + 10) − (n − 6)⁠(3n + 7)

1. (3n − 1)⁠(n + 10) = 3n2 + 30n − n − 10 = 3n2 + 29n − 10.
2. (n − 6)⁠(3n + 7) = 3n2 + 7n − 18n − 42 = 3n2 − 11n − 42.
3. Fərq: 3n2 + 29n − 10 − (3n2 − 11n − 42)= 3n2 + 29n − 10 − 3n2 + 11n + 42= 40n + 32
4. n = −0,3: 40 · (−0,3) + 32 = −12 + 32 = 20. 20

Birbaşa yoxlama: (−0,9 − 1)⁠(−0,3 + 10) = −1,9 · 9,7 = −18,43; (−0,3 − 6)⁠(−0,9 + 7) = −6,3 · 6,1 = −38,43; −18,43 − (−38,43) = 20. ✓ Sadələşdirmək hesabı xeyli qısaltdı.

Nümunə 7Qiymət dəyişəndən asılı deyil

Göstərin ki, (m − 9)⁠(m + 11) − (m + 13)⁠(m − 11) ifadəsinin qiyməti m‑dən asılı deyil.

1. (m − 9)⁠(m + 11) = m2 + 11m − 9m − 99 = m2 + 2m − 99.
2. (m + 13)⁠(m − 11) = m2 − 11m + 13m − 143 = m2 + 2m − 143.
3. m2 + 2m − 99 − m2 − 2m + 143 = 44 — m qalmadı. istənilən m üçün 44

6 · Tənlik

Kvadratlar ixtisar olunur

Bu tənliklərdə sadələşdirmədən sonra x2 hədləri ixtisar olunur və tənlik xətti olur — onu artıq həll etməyi bilirik.

Nümunə 8Sağ tərəf sıfırdır

Tənliyi həll edin: (x + 10)⁠(x − 6) − x(x + 14) = 0

1. (x + 10)⁠(x − 6) = x2 − 6x + 10x − 60 = x2 + 4x − 60; x(x + 14) = x2 + 14x.
2. x2 + 4x − 60 − x2 − 14x = −10x − 60.
3. −10x − 60 = 0, −10x = 60, x = −6. x = −6

Yoxlama: (−6 + 10)⁠(−6 − 6) − (−6)⁠(−6 + 14) = 4 · (−12) + 6 · 8 = −48 + 48 = 0. ✓

Nümunə 9Sağ tərəf ədəddir

Tənliyi həll edin: (3y − 1)⁠(2y + 9) − 2y(3y + 11) = 48

1. (3y − 1)⁠(2y + 9) = 6y2 + 27y − 2y − 9 = 6y2 + 25y − 9; 2y(3y + 11) = 6y2 + 22y.
2. 6y2 + 25y − 9 − 6y2 − 22y = 3y − 9.
3. 3y − 9 = 48, 3y = 57, y = 19. y = 19

Yoxlama: (57 − 1)⁠(38 + 9) − 38 · (57 + 11) = 56 · 47 − 38 · 68 = 2632 − 2584 = 48. ✓

7 · Diqqət

Dörd tez-tez səhv

(r − 10)⁠(r + 14): iki qövs unudulub

Yaşıl qövslər çəkilib, qırmızı qırıq qövslər unudulub. 2 · 2 = 4 qövs olmalı idi, cəmi 2 çəkilib.

Orta hasillər unudulub

Səhv

(r − 10)⁠(r + 14) = r2 − 140

Yalnız birinci · birinci və sonuncu · sonuncu vurulub.

Düz

r2 + 14r − 10r − 140 = r2 + 4r − 140

İkihədli · ikihədli dörd hasil verir.

Mənfi · mənfi

Səhv

(2z − 5)⁠(z − 6) = 2z2 − 17z − 30

(−5) · (−6) mənfi yazılıb.

Düz

2z2 − 12z − 5z + 30 = 2z2 − 17z + 30

(−5) · (−6) = 30: iki mənfinin hasili müsbətdir.

Ədədlər toplanıb

Səhv

(v + 19)⁠(v − 9) = v2 + 10v + 10

Sonuncu hədlər vurulmayıb, toplanıb: 19 + (−9) = 10.

Düz

v2 − 9v + 19v − 171 = v2 + 10v − 171

Hədlər vurulur: 19 · (−9) = −171.

Mənfi yalnız birinci həddə

Səhv

4u2 − (2u − 7)⁠(2u + 9) = 4u2 − 4u2 + 4u − 63 = 4u − 63

«−» yalnız birinci həddə (4u2) tətbiq olunub.

Düz

4u2 − (4u2 + 4u − 63) = −4u + 63

Hasili əvvəl mötərizədə yaz, sonra mötərizəni aç: bütün hədlərin işarəsi dəyişir.

8 · Həyatda

Kinoteatrda neçə yer var?

Yeni zalın layihəsində sıraların sayı (n + 13), hər sıradakı yerlərin sayı (2n − 7) götürülüb; n memarın seçəcəyi natural ədəddir. Sırada yer olsun deyə 2n − 7 > 0, yəni n ≥ 4 olmalıdır.

Kinoteatr zalı: 26 sıra, hər sırada 19 yer (n = 13)

Zal sxematikdir: n = 13 üçün çəkilib (26 sıra, hər sırada 19 yer), keçidlər göstərilməyib.

Yerlərin sayı = sıraların sayı · hər sıradakı yer:

(n + 13)⁠(2n − 7) = 2n2 − 7n + 26n − 91= 2n2 + 19n − 91

Düsturu yoxlayaq: üç layihə üçün yerləri həm sayaraq (sıra · yer), həm də düsturla hesablayaq.

Üç layihədə zalın yerləri

Sütunlar: sıra = n + 13, yer = 2n − 7, düstur = 2n2 + 19n − 91. Hər sətirdə son iki sütun eynidir — düstur hər n üçün işləyir və memar zalın tutumunu bir ifadə ilə görür.

9 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan Hasili standart şəkildə yaz: (h + 10)⁠(h − 9) Cavab variantları h2 − 90 h2 + h − 90 h2 − h − 90 h2 + h + 1 Düzdür! Dörd hasil: h2 − 9h + 10h − 90. Dörd qövs say: h · h, h · (−9), 10 · h, 10 · (−9) — sonra oxşarları birləşdir. Həllə bax h · h = h2, h · (−9) = −9h, 10 · h = 10h, 10 · (−9) = −90. Oxşarlar: −9h + 10h = h. Cavab: h2 + h − 90. h2 − 90 — orta iki hasil unudulub. h2 − h − 90 — −9h + 10h səhv birləşdirilib. h2 + h + 1 — 10 və −9 vurulmayıb, toplanıb.
2. Asan (8 − w)⁠(w + 11) hasilini standart şəkildə yaz. Cavab variantları −w2 + 19w + 88 w2 − 3w + 88 −w2 − 3w + 88 −w2 − 3w + 19 Əla! −w · w = −w2 və −w · 11 = −11w düz tapılıb. −w həddinin işarəsini unutma: −w · w və −w · 11 hasillərinin hər ikisi mənfidir. Həllə bax 8 · w = 8w, 8 · 11 = 88, −w · w = −w2, −w · 11 = −11w. Oxşarlar: 8w − 11w = −3w. Standart şəkildə: −w2 − 3w + 88. −w2 + 19w + 88 — −w · 11 müsbət götürülüb. w2 − 3w + 88 — −w · w müsbət götürülüb. −w2 − 3w + 19 — 8 və 11 toplanıb.
3. Orta Hasili tap: (3x − 2y)⁠(x + 5y) Cavab variantları 3x2 − 10y2 3x2 + 17xy − 10y2 3x2 + 13xy + 10y2 3x2 + 13xy − 10y2 Düzdür! 15xy − 2xy = 13xy. İki dəyişənli hasildə də hər hədd hər həddə vurulur; −2y həddinin iki hasili mənfidir. Həllə bax 3x · x = 3x2, 3x · 5y = 15xy, −2y · x = −2xy, −2y · 5y = −10y2. Oxşarlar: 15xy − 2xy = 13xy. Cavab: 3x2 + 13xy − 10y2. 3x2 − 10y2 — orta hasillər unudulub. 3x2 + 17xy − 10y2 — −2y · x müsbət götürülüb. 3x2 + 13xy + 10y2 — −2y · 5y müsbət götürülüb.
4. Orta Sadələşdir: (4k − 1)⁠(k + 10) − 4k2 Cavab variantları 39k − 10 41k − 10 40k − 10 39k + 9 Düzdür! 4k2 hədləri ixtisar olundu. Əvvəl hasili aç: 4k2 + 40k − k − 10, sonra 4k2 çıx. Həllə bax (4k − 1)⁠(k + 10) = 4k2 + 40k − k − 10 = 4k2 + 39k − 10. 4k2 + 39k − 10 − 4k2 = 39k − 10. 41k − 10 — −1 · k müsbət götürülüb. 40k − 10 — −1 · k hasili unudulub. 39k + 9 — −1 və 10 toplanıb.
5. Çətin Tənliyi həll et: (2x + 7)⁠(x − 9) − x(2x − 5) = 57 Cavab variantları 20 −20 Tənliyin kökü yoxdur 1 Düzdür! x2 hədləri ixtisar olunur, −6x = 120. Sol tərəfi sadələşdir — 2x2 hədləri ixtisar olunur. Sonra −63‑ü işarəsini dəyişərək sağ tərəfə keçir. Həllə bax (2x + 7)⁠(x − 9) = 2x2 − 18x + 7x − 63 = 2x2 − 11x − 63; x(2x − 5) = 2x2 − 5x. 2x2 − 11x − 63 − 2x2 + 5x = −6x − 63. −6x − 63 = 57, −6x = 120, x = −20. 20 — −6‑ya bölərkən işarə itib. 1 — −63 sağa işarəsi dəyişmədən keçirilib: −6x = 57 − 63. «Kökü yoxdur» — x2 ixtisar olunur, qalmır.
6. Çətin d = −1,25 olanda (3d − 2)⁠(d + 11) − d(3d + 29) ifadəsinin qiymətini tap. Cavab variantları −97 6,5 −24,5 −29,5 Düzdür! Əvvəl sadələşdirmək hesabı qısaltdı. Əvvəl sadələşdir: 3d2 hədləri ixtisar olunur. Sonra d = −1,25 qoy. Həllə bax (3d − 2)⁠(d + 11) = 3d2 + 33d − 2d − 22 = 3d2 + 31d − 22; d(3d + 29) = 3d2 + 29d. 3d2 + 31d − 22 − 3d2 − 29d = 2d − 22. 2 · (−1,25) − 22 = −2,5 − 22 = −24,5. −29,5 — −2 · d müsbət götürülüb (6d − 22). −97 — mənfi yalnız birinci həddə (3d2) tətbiq olunub (60d − 22). 6,5 — −2 və 11 toplanıb (2d + 9).

10 · Yekun

Üç şeyi yadda saxla

• Hər hədd · hər həddm hədd · n hədd → m · n hasil. Qövsləri say ki, heç biri unudulmasın.
• İşarə · əmsal · üstHədd işarəsi ilə götürülür: (−5) · (−2) = 10; üstlər toplanır: 2p · p2 = 2p3.
• İslah → standart şəkilOxşarları birləşdir, dərəcəyə görə düz; qarşısında «−» olan hasili mötərizədə aç.

Növbəti mövzu: 2.26 Çoxhədlinin vuruqlara ayrılması

Mənbə: «Riyaziyyat» — 7‑ci sinif üçün dərslik, «Bölmə 4 · 7. Çoxhədlinin çoxhədliyə vurulması», səh. 99–101 (qayda, Araşdırma, DİQQƏT və QEYD sitatları). Nümunələrdəki çoxhədlilər və ədədlər bu dərs üçün seçilib.