f(x) = 2x + √x funksiyasının tərsi f⁻¹ olarsa, f⁻¹(x) ≤ 4 bərabərsizliyinin neçə tam həlli var? Cavabı ədədlə yazın və həllinizi əsaslandırın.
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Artan tərs funksiya ilə bərabərsizlik
Əsas fikir
Dərslikdən. Verilən f funksiyası üçün tərs uyğunluq da funksiya olarsa, f-ə dönən funksiya deyilir; f-in tərsi f⁻¹ ilə işarə edilir. Verilən funksiyanın təyin oblastı tərs funksiyanın qiymətlər çoxluğu, qiymətlər çoxluğu isə tərs funksiyanın təyin oblastı olur: D(f) = E(f⁻¹), E(f) = D(f⁻¹).
Teorem (dərslik). Təyin oblastı X, qiymətlər çoxluğu Y aralığı olan f funksiyası artandırsa (azalandırsa), tərsi var və Y aralığında təyin olunan f⁻¹ tərs funksiyası da artandır (azalandır).
2 · Addım-addım həll
Həll yolu
TapşırıqTərs funksiyanın monotonluğu ilə bərabərsizlik
f(x) = 2x + √x funksiyasının tərsi f⁻¹ olarsa, f⁻¹(x) ≤ 4 bərabərsizliyinin neçə tam həlli var? Cavabı ədədlə yazın və həllinizi əsaslandırın.
- D(f) = [0; +∞). y = 2x və y = √x bu aralıqda artandır, onların cəmi f də artandır; f(0) = 0 və f qeyri-məhdud artır, ona görə E(f) = [0; +∞). Teoremə görə f-in tərsi var, f⁻¹ [0; +∞) aralığında təyin olunub və artandır.
- f(4) = 2 · 4 + √4 = 10, deməli f⁻¹(10) = 4.
- f⁻¹ artan olduğundan f⁻¹(x) ≤ f⁻¹(10) ⇔ x ≤ 10. Təyin oblastı ilə birlikdə: 0 ≤ x ≤ 10.
- Tam həllər 0, 1, 2, …, 10 — cəmi 11.
- Cavab: 11
Artan y = f⁻¹(x) funksiyasının qrafiki və y = 4 düz xətti
Artan f⁻¹ funksiyasının qrafiki y = 4 düz xəttini (10; 4) nöqtəsində kəsir; [0; 10] parçasında qrafik bu düz xətdən yuxarı deyil.
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayaq
x = 10: f⁻¹(10) = 4 ≤ 4 ✓. x = 11: f(4) = 10 < 11 olduğundan f⁻¹(11) > 4 ✗. x = 0: f⁻¹(0) = 0 ≤ 4 ✓. x = −1 təyin oblastına daxil deyil ✗. Sayma: 10 − 0 + 1 = 11 ✓.
4 · Diqqət
Niyə digər variantlar səhvdir
- 10x = 0 sayılmayıb. 0 ∈ D(f⁻¹), çünki f(0) = 0, və f⁻¹(0) = 0 ≤ 4; tam həllər 0, 1, …, 10 — on bir ədəd.
- 5f⁻¹(x) ≤ 4 bərabərsizliyi x ≤ 4 kimi həll edilib (0, 1, 2, 3, 4). f⁻¹ artandır, ona görə f⁻¹(x) ≤ 4 ⇔ x ≤ f(4) = 10.
- 2f⁻¹ əvəzinə f götürülüb: 2x + √x ≤ 4 bərabərsizliyinin tam həlləri 0 və 1-dir. Bərabərsizlik tərs funksiya üçün yazılıb.
- sonsuz saydaTərs funksiyanın təyin oblastı nəzərə alınmayıb: x ≤ 10 yazılıb mənfi ədədlər də sayılıb. D(f⁻¹) = E(f) = [0; +∞), mənfi x üçün f⁻¹(x) təyin olunmayıb.