y = f(x) funksiyası bütün ədəd oxunda təyin olunub və azalandır. Bərabərsizliyin neçə tam həlli var?
Cavabı ədəd kimi yazın və həllinizi əsaslandırın.
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Nəyi bilmək lazımdır
Əsas fikir
Dərslikdən. Aralıqdan götürülmüş x2 > x1 şərtini ödəyən ixtiyari x1, x2 üçün f(x2) > f(x1) olarsa, f(x) bu aralıqda artan, f(x2) < f(x1) olarsa azalan funksiyadır. Qrafikdə soldan sağa getdikcə artan funksiyanın qrafiki qalxır, azalanınkı enir.
Nəticə: azalan funksiya üçün f(u) > f(v) ⇔ u < v. Doğrudan, u ≥ v olsaydı, ya u = v (f(u) = f(v)), ya da u > v (f(u) < f(v)) olardı — hər ikisi f(u) > f(v) ilə ziddiyyət təşkil edir. Artan funksiyada isə f(u) > f(v) ⇔ u > v.
2 · Addım-addım həll
Həll yolu
TapşırıqAzalan funksiya və bərabərsizlik
y = f(x) funksiyası bütün ədəd oxunda təyin olunub və azalandır. Bərabərsizliyin neçə tam həlli var?
f(x²) > f(4x + 5)
Cavabı ədəd kimi yazın və həllinizi əsaslandırın.
- f azalandır, ona görə f(x²) > f(4x + 5) ⇔ x² < 4x + 5 (bərabərsizliyin işarəsi əksinə dəyişir).
- x² − 4x − 5 < 0 ⇔ (x + 1)(x − 5) < 0.
- Kvadrat üçhədlinin kökləri −1 və 5; budaqlar yuxarı yönəlib, ona görə ifadə köklər arasında mənfidir: −1 < x < 5.
- Tam həllər: 0, 1, 2, 3, 4 — cəmi 5.
- Cavab: 5
Bərabərsizliyin həllər çoxluğu
Həllər çoxluğu (−1; 5): uclar daxil deyil, tam həllər 0, 1, 2, 3, 4.
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayaq
x = 4: x² = 16, 4x + 5 = 21, 16 < 21 ⇒ f(16) > f(21) ✓. x = 5: 25 = 25 — bərabərlik, həll deyil. x = −2: 4 > −3 ⇒ f(4) < f(−3) — həll deyil.
4 · Diqqət
Niyə digər variantlar səhvdir
- 7Uclar −1 və 5 də sayılıb ([−1; 5]). x = −1 və x = 5 olduqda x² = 4x + 5, yəni f(x²) = f(4x + 5) — ciddi bərabərsizlik ödənmir.
- 4x = 0 unudulub: 0² = 0 < 4·0 + 5 = 5, ona görə x = 0 də həlldir.
- Sonsuz saydaFunksiya artan kimi götürülüb: x² > 4x + 5 ⇒ x < −1 və ya x > 5. Azalan funksiyada bərabərsizlik işarəsi əksinə dəyişir.
- 6Uclardan biri sayılıb. Hər iki uc (−1 və 5) həll deyil.