Mətn
ABCD düzbucaqlısının A təpəsindən onun müstəvisinə AM perpendikulyarı qaldırılmışdır. M nöqtəsindən B, D və C təpələrinə qədər məsafələr uyğun olaraq 7 sm, 9 sm və 11 sm-dir.
Düzbucaqlının sahəsini tapın. Cavabı a√b şəklində (sm²) yazın və həllinizi əsaslandırın.
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Perpendikulyarın ucundan təpələrə
Əsas fikir
Dərslikdən (tərif). Müstəvini (α) kəsən düz xətt (l) müstəvi üzərində olan və kəsişmə nöqtəsindən keçən ixtiyari düz xəttə perpendikulyardırsa, onda bu düz xətt müstəviyə perpendikulyardır və bu l ⊥ α kimi yazılır.
Hesablama üçün. MO ⊥ α və O ∈ α olarsa, müstəvinin istənilən X nöqtəsi üçün MO ⊥ OX, yəni MOX üçbucağı O təpəsində düzbucaqlıdır: MX² = MO² + OX² (Pifaqor teoremi).
2 · Addım-addım həll
Həll yolu
TapşırıqPerpendikulyarın ucundan təpələrə məsafələr və düzbucaqlının sahəsi
ABCD düzbucaqlısının A təpəsindən onun müstəvisinə AM perpendikulyarı qaldırılmışdır. M nöqtəsindən B, D və C təpələrinə qədər məsafələr uyğun olaraq 7 sm, 9 sm və 11 sm-dir.
Düzbucaqlının sahəsini tapın. Cavabı a√b şəklində (sm²) yazın və həllinizi əsaslandırın.
- AM ⊥ (ABC), AB, AD və AC isə müstəvidə A-dan keçir. Tərifə görə AM bu üç düz xəttə perpendikulyardır: MAB, MAD və MAC üçbucaqları A-da düzbucaqlıdır.
- AM = h, AB = x, AD = y olsun. Pifaqor teoremi: h² + x² = 49, h² + y² = 81, h² + AC² = 121. ABCD düzbucaqlı olduğundan AC² = x² + y², yəni h² + x² + y² = 121.
- İlk iki bərabərliyi toplayaq: 2h² + x² + y² = 130. Buradan üçüncünü çıxsaq: h² = 130 − 121 = 9, h = 3 sm.
- x² = 49 − 9 = 40, x = 2√10; y² = 81 − 9 = 72, y = 6√2.
- Sahə: S = x · y = 2√10 · 6√2 = 12√20 = 24√5 (sm²).
- Cavab: 24√5 sm²
Düzbucaqlının müstəvisinə A təpəsindən qaldırılmış AM perpendikulyarı
AM ⊥ (ABC): AM ilə AB, AD və AC arasında düz bucaqlar; MAB, MAD, MAC üçbucaqları A-da düzbucaqlıdır.
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayaq
MC² = AM² + AB² + AD² = 9 + 40 + 72 = 121 = 11² ✓; MB² = 9 + 40 = 49 ✓; MD² = 9 + 72 = 81 ✓. S² = 40 · 72 = 2880 = 576 · 5 ✓.
4 · Diqqət
Niyə digər variantlar səhvdir
- 63 sm²MB və MD düzbucaqlının tərəfləri kimi götürülüb: 7 · 9 = 63. MB və MD maili parçalardır; tərəflər AB və AD onlardan qısadır.
- 12√5 sm²ABD (və ya ABC) üçbucağının sahəsi tapılıb: ½ · AB · AD. Düzbucaqlının sahəsi AB · AD-dir.
- 8√21 sm²AM uzunluqların fərqi kimi götürülüb: 7 + 9 − 11 = 5. Bərabərlik kvadratlar üçündür: AM² = 7² + 9² − 11² = 9, AM = 3. AM = 5 ilə AB² = 24, AD² = 56 və sahə √1344 = 8√21 alınır.
- 48√5 sm²Sahə iki dəfə artıq götürülüb (AB · AD · 2). AB = 2√10, AD = 6√2, AB · AD = 12√20 = 24√5.