Mətn
ABC üçbucağında ∠C = 90°, CD ⊥ AB, AD = 2 sm, DB = 16 sm. AC katetinin uzunluğunu tapın.
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Katet hipotenuz və öz proyeksiyası arasında həndəsi ortadır
Əsas fikir
Teorem. Dərslik: «Düzbucaqlı üçbucaqda düz bucaq təpəsindən hipotenuza çəkilmiş hündürlük üçbucağı özünə oxşar iki üçbucağa ayırır.» ∆ABC ∼ ∆ACD ∼ ∆CBD (∠C = 90°, CD ⊥ AB).
Nəticə 2. Dərslik: «Düzbucaqlı üçbucaqda hər bir katet hipotenuz və həmin katetin hipotenuz üzərindəki proyeksiyası arasında həndəsi ortadır.» AB : AC = AC : AD, yəni AC² = AB · AD; eləcə də BC² = AB · DB. Burada AD parçası AC katetinin, DB isə BC katetinin hipotenuz üzərində proyeksiyasıdır.
2 · Addım-addım həll
Həll yolu
TapşırıqKatet, hipotenuz və proyeksiya
ABC üçbucağında ∠C = 90°, CD ⊥ AB, AD = 2 sm, DB = 16 sm. AC katetinin uzunluğunu tapın.
- Hipotenuz: AB = AD + DB = 2 + 16 = 18 sm.
- ∆ABC ∼ ∆ACD (∠A ortaqdır, ∠ACB = ∠ADC = 90°). Uyğun tərəflər: AB ↔ AC, AC ↔ AD.
- Tənasüb: AB : AC = AC : AD, yəni AC² = AB · AD = 18 · 2 = 36 (Nəticə 2). AC-nin proyeksiyası AD-dir, DB yox.
- AC = √36 = 6 sm.
- Cavab: 6 sm
Düzbucaqlı ABC üçbucağı: AC kateti, onun AD proyeksiyası və AB hipotenuzu vurğulanıb
AC kateti (qırmızı), onun AD = 2 proyeksiyası və AB = 2 + 16 = 18 hipotenuzu: AC² = 18 · 2.
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayaq
AB : AC = 18 : 6 = 3 və AC : AD = 6 : 2 = 3 ✓. Pifaqor teoremi ilə: CD² = AC² − AD² = 36 − 4 = 32, Nəticə 1 ilə də CD² = 2 · 16 = 32 ✓.
4 · Diqqət
Niyə digər variantlar səhvdir
- 4√2 smAC² = AD · DB yazılıb: √(2 · 16) = 4√2. Bu hasil hündürlüyün kvadratıdır (CD² = AD · DB), katetin yox.
- 12√2 sm√(16 · 18) = 12√2 — bu, BC katetidir: DB parçası BC katetinin proyeksiyasıdır, AC-nin proyeksiyası AD-dir.
- 10 sm(2 + 18) : 2 = 10 ədədi ortadır. Katet hipotenuz və proyeksiyanın həndəsi ortasıdır.
- 18 smBu, AB hipotenuzudur (2 + 16 = 18). Katet hipotenuzdan qısa olmalıdır.