Audio dərs · Müddət
9:51
Mətn (transkript)
Təsəvvür edin ki, dulusçu emalatxanasındasınız. Çarx fırlanır, ortasında bir parça yaş gil. Dulusçunun əlləri gilin yalnız bir tərəfinə toxunur: aşağıdan yuxarıya bir əyri xətt çəkir, əvvəl bir az şişkin, sonra daralan, ağzına yaxın yenə açılan. Amma çarx fırlandıqca bu tək əyri bütöv, dairəvi bir küpəyə çevrilir. İndi sual: bu küpəyə nə qədər su sığar? Silindr, konus və kürə üçün düsturlarımız var. Bəs belə əyri divarlı bir qab üçün? Bu dərsdə məhz bu suala cavab axtaracağıq. Görəcəyik ki, müəyyən inteqral təkcə sahəni deyil, həcmi də ölçə bilir. Fikir çox sadədir: cismi nazik dilimlərə bölürük, hər dilimin həcmini təxmin edirik və hamısını toplayırıq. Fırlanmadan alınan cisimlərdə isə bu dilimlər xüsusi formadadır: hər biri nazik bir disk, sanki bir sikkədir. Gəlin bu fikrə addım-addım gələk. Əvvəlcə kiçik bir xatırlatma. Sahə müstəvi fiqurların ədədi ölçüsüdür, həcm isə fəza cisimlərinin. Kubun, silindrin, konusun və kürənin həcmini hazır düsturlarla tapırıq. Amma bu düsturlar yalnız düzgün formalı cisimlər üçündür. Əyri formalı cisim üçün başqa yol lazımdır, və bu yol mətbəxdən tanışdır. Bir çörəyi nazik dilimlərə kəsin. Hər dilim demək olar ki, yastıdır: onun həcmi təxminən üzünün sahəsi ilə qalınlığının hasilidir. Bütün dilimlərin həcmlərini toplasanız, çörəyin həcmini alarsınız. Buna dilimləmə üsulu deyilir. Bu fikrin çox qədim kökləri var. Böyük yunan alimi Arximed kürəni və onu tam əhatə edən silindri müqayisə etmişdi. O, aşkar etmişdi ki, kürə ilə bu silindrin həm səthlərinin, həm də həcmlərinin nisbəti ikinin üçə nisbəti kimidir. Dərsliyimiz bu nəticəni dilimlərlə başa düşməyi təklif edir. Yarımkürəni və içindən konus oyulub çıxarılmış silindri yan-yana qoyun və ikisini eyni hündürlükdə kəsin. Yarımkürənin kəsiyi dairədir, oyulmuş silindrinki isə halqadır. Və bu dairə ilə halqanın sahələri hər səviyyədə bərabər çıxır. Arximed bütün işləri içində məhz bu kəşfi ən dəyərlisi sayırdı. O, qəbrinin üstündə bu isbatı göstərən şəklin cızılmasını istəmişdi. Arximedin doğma şəhəri Sicilyadakı Sirakuz idi. Tarixi məlumatlara görə, onun ölümündən yüz otuz yeddi il sonra filosof və yazıçı Siseron axtarış aparıb bu qəbri tapmışdı. Deməli, cismi dilimlərlə düşünmək çox qədim bir fikirdir. Çox sonra, on yeddinci əsrin birinci yarısında yaşamış italyan riyaziyyatçısı Bonaventura Kavalyeri bu düşüncəni bir prinsip kimi ifadə etdi. Onu onuncu sinifdən tanıyırsınız. Prinsip deyir: iki cismi verilən müstəviyə paralel istənilən müstəvi ilə kəsdikdə alınan fiqurların sahələri bərabərdirsə, bu cisimlərin həcmləri də bərabərdir. Başqa sözlə, həcmi dilimlər həll edir. Arximedin dairəsi ilə halqası da məhz buna görə eyni həcm verir. İndi bu fikri inteqrala bağlayaq. Cismi bir ox boyunca yerləşdirin, məsələn, x oxu boyunca, a nöqtəsindən b nöqtəsinə qədər. Hər x nöqtəsində cismi oxa perpendikulyar kəsin. Alınan kəsiyin sahəsi x-dən asılıdır: bir yerdə böyük, başqa yerdə kiçik. İndi cismi bərabər qalınlıqlı nazik dilimlərə bölək. Hər dilimin həcmi təxminən kəsiyin sahəsi ilə qalınlığın hasilidir. Dilimlər nazikləşdikcə bu cəm həqiqi həcmə getdikcə yaxınlaşır, limitdə isə ona tam bərabər olur. Bu limit sizə tanış gəlməlidir: müəyyən inteqral məhz belə cəmlərin limitidir. Deməli, inteqral bu sonsuz nazik dilimləri toplayan alətdir. Dərslik işi üç addımla qurur. Əvvəl şəkil çəkilir və dilimin forması müəyyən edilir. Sonra dilimin sahəsi dəyişənin funksiyası kimi yazılır. Sonda bu funksiyanın verilən parçada müəyyən inteqralı hesablanır. Məsələn, piramidanı təpəsindən oturacağına doğru dilimləsəniz, kvadrat kəsiklər təpədən uzaqlaşdıqca böyüyür, və inteqral bizə tanış olan piramida düsturunu qaytarır. Gəlin dulusçu çarxına qayıdaq. Koordinat müstəvisində x oxunun üstündə, a ilə b arasında kəsilməz bir əyri götürün. Əyri ilə x oxu arasında qalan hissəni təsəvvür edin, və bu hissəni x oxu ətrafında fırladın, eynən çarxın gili fırlatdığı kimi. Əyrinin hər nöqtəsi oxun ətrafında bir çevrə cızır. Nəticədə fırlanma cismi alınır. Və onun ən gözəl xüsusiyyəti budur: oxa perpendikulyar hər kəsiyi dairədir. Bir yığın sikkə düşünün. Eyni ölçülü sikkələri üst-üstə qoysanız, silindr alınır. Sikkələr getdikcə kiçilsə, konus alınır. Əvvəl böyüyüb, sonra kiçilsələr, küpəyə bənzər bir cisim alınır. Fırlanma cismi də belə bir sikkə yığınıdır. Hər nazik diskin radiusu əyrinin həmin nöqtədəki hündürlüyüdür, yəni funksiyanın qiymətidir. Qalınlığı isə dilimin qalınlığıdır. Disk alçaq bir silindr olduğu üçün onun həcmi dairəsinin sahəsi ilə qalınlığının hasilidir. İndi bütün diskləri inteqralla toplayırıq və dərsin əsas düsturuna gəlirik. Onu bir dəfə sözlə deyək: fırlanma cisminin həcmi pi ilə funksiyanın kvadratından a-dan b-yə qədər alınmış müəyyən inteqralın hasilinə bərabərdir. Burada pi dairədən gəlir. Kvadrat isə ona görədir ki, dairənin sahəsi radiusun kvadratı ilə artır: əyri iki dəfə hündür olan yerdə disk dörd dəfə çox həcm daşıyır. Kvadratı unutmaq bu mövzuda ən çox rast gəlinən səhvdir. Bu düsturu tanış cisimlərdə yoxlayaq. Koordinat başlanğıcından bərabər qalxan düz xətt götürün. Onu x oxu ətrafında fırladanda konus alınır, və inteqral məktəbdən bildiyimiz nəticəni dəqiq verir: konusun həcmi eyni oturacaqlı və eyni hündürlüklü silindrin üçdə biridir. Yarımçevrəni fırladanda isə kürə alınır. Dərslik sizdən kürənin həcm düsturunu məhz bu yolla çıxarmağı istəyir. Yəni Arximedin o qədər dəyər verdiyi nəticəyə indi bir inteqralla çata bilərsiniz. Bəs fırlanan hissə x oxuna söykənmirsə? Məsələn, iki əyri arasında qalan zolağı fırladırıq. Onda cismin ortasında boşluq olur, eynən dulusçunun qabının içi kimi. Belə cismin kəsiyi artıq dolu disk deyil, halqadır: böyük diskdən kiçik disk çıxılır. Arximedin halqasını xatırlayırsınız? Dərslik belə hallarda həcmi iki inteqralın fərqi kimi hesablamağı məsləhət görür. Yuxarı sərhəd yolun ortasında bir əyridən başqasına keçirsə, parçanı iki hissəyə bölür və iki inteqralın cəmini götürürük. İmtahanda bu mövzu adətən sadə və bir addımlı olur. Sual belə səslənir: funksiyanın qrafikinin verilən parçadakı hissəsinin absis oxu ətrafında fırlanmasından alınan cismin həcmini tapın. Bəzən isə yalnız cismin formasını soruşurlar. Məsələn, koordinat başlanğıcından çıxan düz xəttin bir parçası fırlananda nə alınır? Konus. Diqqət edin: belə tapşırıqlarda pi çox vaxt üçə bərabər götürülür. Ən çox edilən səhvlər isə radiusla hündürlüyün yerini qarışdırmaq və üçdə biri unutmaqdır. Dilimləmə üsulu təkcə fırlanma cisimləri üçün deyil. Dərsliyin uzunmüddətli tapşırığında Böyük Giza piramidasının həcmini müəyyən inteqralla hesablamaq təklif olunur: onun kəsikləri dairə deyil, kvadratdır. Başqa bir tapşırıqda evin damının həcmi tapılır, orada kəsiklər üçbucaqdır. Qayda dəyişmir: dilimin formasını tapın, sahəsini yazın, inteqralla toplayın. Fırlanma cismi isə dilimləri dairə olan xüsusi və çox rahat haldır. İndi emalatxanaya qayıdaq. Dulusçu yalnız bir əyri çəkir, çarx isə ondan bütöv bir qab yaradır. İnteqral eyni işi hesabla görür: əyrinin hər nöqtədəki hündürlüyünü radius kimi götürür, ondan nazik bir disk düzəldir və bütün diskləri toplayır. Deməli, küpənin profil əyrisini bilsək, ona nə qədər su sığdığını da hesablaya bilərik. Yadda saxlamağa dəyən bir fikir: həcm nazik dilimlərin cəmidir, inteqral isə bu cəmi dəqiq edir. Fırlanmadan alınan cisimdə hər dilim diskdir, onun radiusu isə əyrinin hündürlüyüdür. Hesablamanın addımlarını oxu dərsində və videoda nümunələrlə izləyə bilərsiniz. Növbəti dəfə dulusçu çarxı görəndə xatırlayın: o çarxda da bir inteqral fırlanır.