İki hissədən ibarət fiqurun fırlanması

1 · Əsas fikir

Həcm dilimlərin cəmidir

Fırlanma cisminin həcmi

[a; b] parçasında kəsilməz və mənfi olmayan f(x) funksiyasının qrafiki, absis oxu və x = a, x = b düz xətləri ilə hüdudlanmış fiqur Ox oxu ətrafında fırlandıqda fırlanma cismi alınır. Cismi Ox oxuna perpendikulyar müstəvilərlə nazik dilimlərə bölək: x nöqtəsindəki dilim radiusu f(x), qalınlığı Δx olan kiçik silindrdir, həcmi π(f(x))²Δx-dir. Dilimlərin həcmlərini toplayıb Δx → 0 etdikdə müəyyən inteqral alınır:

V = π∫ba(f(x))² dx

Fiqurun yuxarı sərhədi parçanın bir nöqtəsində başqa funksiyaya keçirsə, parçanı həmin nöqtədə bölüb həcmi iki inteqralın cəmi kimi yazırıq.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

Tapşırıqİki hissədən ibarət fiqurun fırlanması

Şəkildə 0 ≤ x ≤ 1 parçasında y = x² parabolası, 1 ≤ x ≤ 2 parçasında y = 2 − x düz xətti və absis oxu ilə hüdudlanmış fiqur göstərilib. Bu fiqurun absis oxu ətrafında fırlanmasından alınan cismin həcmini tapın.

1. Fiqurun yuxarı sərhədi x = 1 nöqtəsində dəyişir (orada x² = 1 = 2 − x). Ona görə həcmi iki inteqralın cəmi kimi yazırıq.
2. Birinci hissə: V₁ = π∫10(x²)² dx = π·x⁵5 / |10 = π5 /
3. İkinci hissə: V₂ = π∫21(2 − x)² dx = π·(−(2 − x)³3 / )|21 = π(0 + 13 / ) = π3 /
4. V = V₁ + V₂ = π5 / + π3 / = 8π15 /
5. Cavab: V = 8π/15 kub vahid

İki hissədən ibarət fiqurun fırlanması

Fiqur x = 1-də iki hissəyə bölünür: sol hissə y = x² altında, sağ hissə y = 2 − x altında (fırlananda konus).

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

İkinci hissə radiusu 1, hündürlüyü 1 olan konusdur: π·1²·1/3 = π/3 — inteqralla eyni. Birinci hissə radiusu 1, hündürlüyü 1 olan silindrdən (π) xeyli kiçikdir: π/5. Cəm 8π/15 ≈ 1,68.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• π/5Yalnız birinci hissə (π∫₀¹x⁴dx) hesablanıb, konus hissəsi unudulub.
• 32π/5Bütün [0; 2] parçasında y = x² götürülüb: π∫₀²x⁴dx = 32π/5; amma x > 1 olduqda fiqurun yuxarı sərhədi 2 − x-dir.
• 5π/6Fiqurun sahəsi (1/3 + 1/2 = 5/6) π-yə vurulub; sahə həcm deyil.
• 2π/15İki hissənin həcmi toplanmaq əvəzinə çıxılıb: π/3 − π/5.