Mətn (transkript)
Konusun həcmindəki üçdə bir haradan gəlir? Cavabı fırlanan bir düz xətt verir. Əvvəlcə dulus çarxına baxaq. Usta gilin yalnız bir kənarına forma verir: əslində bir əyri çəkir. Çarx fırlanır və bu tək əyri bütöv bir küpə çevrilir. Bəs belə qaba nə qədər su sığar? Onun nə düz divarı var, nə də hazır düsturu. Riyaziyyatda da eyni işi görürük. Budur, iqrek bərabərdir iks kvadrat üstəgəl bir funksiyasının qrafiki, iks mənfi birdən ikiyə qədər. Qrafikin altındakı sahəni absis oxu ətrafında fırladırıq. Tam dövrdən sonra fırlanma cismi alınır, ortası dar bir küp kimi. Amma onun həcmini necə ölçək? Cismi nazik dilimlərə kəsək, çörək kimi. Hər dilim dairəvi bir diskdir. Onun qalınlığı delta iks, radiusu isə həmin yerdə qrafikin hündürlüyüdür, yəni ef iks. Disk əslində çox alçaq bir silindrdir. Deməli, onun həcmi pi, vurulsun radiusun kvadratı, vurulsun delta iks. İndi bütün diskləri yan-yana düzüb toplayaq. Altı disk pilləli, kobud bir cisim verir. On iki disk artıq daha hamardır. Qırx səkkiz diskdə pillələr demək olar ki, görünmür. Disklər sonsuz nazikləşəndə cəm dəqiq bir ədədə yaxınlaşır. Bu ədəd müəyyən inteqraldır. Beləliklə, fırlanma cisminin həcmi belə tapılır: həcm bərabərdir pi, vurulsun a-dan be-yə qədər ef iksin kvadratından inteqral, de iks. Pi dairədən gəlir. Kvadrat radiusdan gəlir. De iks diskin qalınlığıdır. A və be isə cismin başladığı və bitdiyi yerdir. İndi cismimizin həcmini hesablayaq. Funksiya iks kvadrat üstəgəl birdir, sərhədlər mənfi bir və iki. Əvvəlcə funksiyanı kvadrata yüksəldirik: iks dördüncü dərəcədən, üstəgəl iki iks kvadrat, üstəgəl bir. Belə çoxhədlini inteqrallamaq isə asandır. İbtidai funksiya belədir: iks beşinci dərəcədən bölü beş, üstəgəl iki iks kub bölü üç, üstəgəl iks. Nyuton–Leybnis düsturu ilə ikidəki qiymətdən mənfi birdəki qiyməti çıxırıq. İkidə iki yüz altı bölü on beş alınır. Mənfi birdə isə mənfi iyirmi səkkiz bölü on beş. Fərq yetmiş səkkiz bölü beşdir. Sonda pi-yə vururuq. Cismin həcmi yetmiş səkkiz pi bölü beş, təxminən qırx doqquz kub vahiddir. Yəni bu cismin içinə tili bir olan qırx doqquz kub qədər yer var. Qırx səkkiz diskin cəmi də az qala eyni ədədi verirdi. Bəs bu düstur bildiyimiz düsturlarla uyğun gəlirmi? İndi başlanğıcdakı suala qayıdaq. Koordinat başlanğıcından çıxan düz xətti götürək: iqrek bərabərdir er bölü he, vurulsun iks, iks sıfırdan he-yə qədər. Onu fırladanda konus alınır: radiusu er, hündürlüyü he. Düstura qoyuruq. İks kvadratın inteqralı iks kub bölü üçdür, və üçdə bir məhz buradan gəlir. Nəticə pi er kvadrat he bölü üçdür: tanış konus düsturu. Deməli, konusdakı üçdə bir fırlanan düz xəttin izidir. İstənilən fırlanma cismi üçün isə yol eynidir: radiusu kvadrata yüksəlt, diskləri inteqralla topla və pi-yə vur.